第4章 希尔伯特(Hilbert)空间

第4章希尔伯特（Hilbert）空间§4.1内积空间和Hilbert空间§4.2正交分解与投影定理§4.3广义Fourier分析在第3章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋予了范数，即向量的长度，它是Rn中向量长度在抽象空间中的推广。但在Rn中向量还有一个很重要的特征——向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到一般的赋范线性空间，建立了内积空间和Hilbert空间。[,]Cab[,](1)pLabP(1)plP，，§4.1内积空间和Hilbert空间1）定义（内积空间）设U是数域K（实或复数域）上的线性空间，若,xyU，存在唯一的数(,)xyK，满足下列三条（内积公理）：①对第一变元的线性性：(,)(,)(,),xyzxzyzzU②共轭对称性：(,)(,)xyyx③正定性：(,)0xx，(,)0xxx0则称(,)xy为,xy的内积，U为内积空间。当K是实数域时，称U为实内积空间；K为复数域时，称U为复内积空间。通常U指的是复内积空间。当U为内积空间时，推得：,,,,xyzU有①(,)(,)xyxy②(,)(,)(,)xyzxyxz2）内积空间中的范数在内积空间U中，若令(,)xxx，即2(,)xxx可验证满足范数的三条公理，故U是按内积导出的赋范线性空间。进一步也可由范数导出距离(,)(,)xyxyxyxy，则U也是距离空间。引理（柯西—许瓦兹不等式Cauchy—Schwarz）：(,)xyU，有,xyxy验证(,)xxx满足范数的三条公理。①显然②(,)xxxx③因为2(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyxxxyxyyy222Re(,)xxyy2222()xxyyxy(Re(,)(,))xyxyxy故xyxy3）内积空间的性质（1）在内积空间U中，按内积导出的范数满足平行四边形公式22222()xyxyxy证明：22222222(,)(,)(,)(,)(,)(,)2()xyxyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxyxy（2）判别定理若赋范线性空间X的范数满足平行四边形公式22222()xyxyxy，则X可成为内积空间。证：①当X为实赋范线性空间时，定义221(,)()4xyxyxy则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；②当X为复赋范线性空间时，定义22221(,)()()44ixyxyxyxiyxiy则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。（3）内积的连续性在内积空间U中，内积(,)xy是两个变元,xy的连函数，即当,nnxxyy（按范数）时，数列(,)(,)nnxyxy4）希尔伯特（Hilbert）空间定义完备的内积空间U称为Hilbert空间，记作H（即内积空间U按距离(,)(,)xyxyxyxy是完备的，亦是Banach空间）5）举例例1在n——n维（实或复数）向量空间中，1212(,,,),(,,,)nnnxxxxyyyy，定义内积1(,)niiixyxy（满足三条公理）范数21(,)niixxxx，则n按范数是完备的内积空间，即Hilbert空间。特别的，在Rn中，内积1(,)niiixyxy，范数21niixx。例2在2[,]Lab中，2(),()[,]xtytLab，定义内积(,)()()baxyxtytdt（满足三条公理）范数122()(())baxtxtdt，则2[,]Lab按范数是完备的内积空间。若2[,]Lab为复值函数，则定义内积(,)()()baxyxtytdt（满足三条公理）例3在22121{(,,),,}iiilxxxxxx为复数中，21212(,,),(,,)xxxyyyl，定义内积1(,)iiixyxy（满足三条公理）范数1221()iixx，则2l是Hilbert空间。例4[,]Cab是按范数[,]max()tabxxt不是内积空间（因为不满足平行四边形公式）。§4.2正交分解与投影定理1)定义（正交性）设U是内积空间，,,,xyUMNU（2）若,(,)0yNxy有，称x与N正交，记作xN；（3）若,,(,)0xMyNxy有，称M与N正交，记作MN；（1）若(,)0xy，称x与y正交，记作xy；（4）U中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补，记作M，即{,}MyyxxM。（5）设M为U的线性子空间，01,,xUxMxM若，使得01xxx（*）则称0x为x在M上的正交投影，（*）式称为x关于M的正交分解。2)性质（1）设U是内积空间，,,xyUxy若，则222xyxy称为“商高定理”，即勾股定理。（2）设L是内积空间U中的一个稠密子集，xU，若xL，则x=0（零元素）。（3）设U是内积空间，MU，则M为U的闭线性子空间。（4）设U是内积空间，MU为线性子空间，若x0为x在M上的投影，则0infyMxxxy（**）而且x0是M中使（**）成立的唯一点。（0infyMxxxy说明x0是M中逼近x的最好元）3）投影定理设M是Hilbert空间中闭（完备）线性子空间，则xH，必存在唯一的01xMxM及，使得01xxx注：完备子空间一定是闭子空间，反之不成立；完备空间的闭子空间一定是完备子空间；有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。问：当U、M满足什么条件时，xU在M中有投影？问题：如何求U中x在M中的投影x0？推广：当M是内积空间U的完备线性子空间时，定理仍然成立。§4.3广义Fourier分析在R3中，123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)eee是三个相互正交的单位向量，则对于3R，有唯一分解112233xexexe，其中112233(,),(,),(,)xexexe（由正交性可得），即通过正交性可得到的唯一分解表达式。同样在内积空间U中，由正交性也可以将U中的元素表示为唯一分解的形式，这将十分有意义。1)正交系及规范正交系（1）定义设在U空间中有一组非零的元素列（或点列）{}ne，①若(,)0()ijeeij，则称{}ne为正交系；②若0,(,)1,ijijeeij，则称{}ne为规范正交系（或标准正交系）。注：规范正交系12{,,,,}neee中任一有限组12{,,,}knnneee线性无关。例1在Rn中，元素组12(1,0,,0),(0,1,0),,ee(0,0,,1)ne为Rn中的规范正交系。例2在l2中，元素列12(1,0,0,),(0,1,0,),ee按内积1(,)iiixyxy为规范正交系。例3在2[,]L中，若规定内积(,)()()xyxtytdt，则三角函数系11111,cos,sin,,cos,sin,2ttntnt是2[,]L中的规范正交系。在2[0,2]L中，若规定内积201(,)()()xyxtytdt则三角函数系1,cos,sin,,cos,sin,2ttntnt是2[0,2]L中的规范正交系。（2）规范正交化定理（Gram—Schmidt）设12{,,,,}nxxx是U中的任一线性无关元素组，则通过Schmidt正交化方法可以构造一组规范正交系。构造方法如下：11111yyxey22221122(,)yyxxeeey33331132233(,)(,)yyxxeexeeey……………………………….11(,)nnnnniininyyxxeeey……………………………….由此得到12{,,,,}neee为U中的一个规范正交系。例（勒让德Legendre多项式）在[-1,1]上连续实值函数的全体C[-1,1]按内积11(,)()()xyxtytdt构成一实内积空间U。U的完备化空间为实Hilbert空间L2[-1,1]。在C[-1,1]中构造一个正交系如下：令011,,,,nnxxtxt，则{}nx是线性无关的。取0001,2xex11100(,)yxxeet，取11132yety，类似的2251(31)22et，21,()(1,2,)2nnnePtn其中21()[(1)]2!nnnnndPttndt称为n阶的Legendre多项式。而{()}net是L2[-1,1]中的规范正交系。{()}nPt的前六项为0()1Pt1()Ptt221()(31)2Ptt331()(53)2Pttt4241()(35303)8Pttt5351()(637015)8Ptttt（3）性质①设12{,,,}neee是U中的规范正交系，121span{,,,}{,}nniiiiMeeexxaeaK则对于xU，x在M上的投影01(,)niiixxee，并且22201(,)niixxex通常称221|(,)|niixex为Bessel不等式。即x在M上的投影x0的长度x。推广：设12{,,,}neee，是U中的规范正交系，则xU，有221(,)iixex②最佳逼近定理设12{,,,}neee是U中的规范正交系,xU，则对于任意一组数12(,,,)naaa，恒有11(,)nniiiiiixxeexae（***）证：设12span{,,,}nMeee，则x在M上的投影为01(,)niiixxee又由投影性质知01infinfniiyMixxxyxae该定理说明：U中的任意元x，当用12{,,,}neee作有限维线性组合去逼近时，以01(,)niiixxee为最好逼近元，其中线性组合系数(,)ixe称为Fourier系数。可见在有限维线性子空间M中求U中x的最佳逼近元等同于求投影。1,n()iiixee当时，称为x关于{}ie的广义Fourier级数问题：如何在无限维空间12span{,,,,}nMeee中求U中x的最佳逼近元？2)规范正交系的完全性及完备性（1）定义设12{,,,}nLeee，是内积空间U中的规范正交系①若对于xU,当且仅当0x时，(,)0ixe(1,2,)i（即{0}L），则称{}iLe是完全的；②若对于xU,都有221(,)iixxe则称{}iLe是完备的。此式称为巴塞弗（Parseval）等式，也称为广义“商高定理”（2）性质定理1设12{,,,}neee，是H空间中的规范正交系，则下列四个命题等价①12{,,,}neee，是完全规范正交系②设12span{,,,,},nMeeeMH则③对xH,Parseval公式221(,)iixxe成立（即在H中规范正交性的完全性与完备性等价，但在U中不成立）④对于xH，有1(,)iiixxee定理2H空间中任意两个完全规范正交系12{,,}ee和12{,,}ee具有相同的基（即{}{}nnee与之间存在一一对应的关系）。定理3无穷维H空间可分的H中存在完全规范正交系。证明：由于H可分，则在H中存在稠密的可列子集{}nLg，在L中选出线性无关的子列{}kng，再经过规范正交化方法得到规范正交系{}ne。见参考书，李老师，77页定理4无穷维可分的H空间必与l2空间线性及内积同构。即：存在H到l2的一一映射，使其保持线性运算及内积相等。()()(),((),())