当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 第4章 插值与基函数(上)
第四章插值与基函数重新回忆虚功方程它是解释有限元法的思想基础。注意到未知位移是通过插值函数用结点位移表示实虚[N]是关键。故可以说采用插值函数位移模式是有限元法的一个重要特点。这样提高插值精度是提高有限元法精度的重要手段。换言之,用什么单元的问题是关键问题,它决定了工作量和精度。插值函数类是有限维的,与空间向量存在着一组基一样,也存在一组基函数,所有同一类的插值函数都可通过这组基函数表现出来。例如三角形单元中有三个基函数(一组基)。对于基函数,一般研究下述问题:1.连续性(光滑性)2.逼近阶(误差大小)3.总体自由度(关系到离散单元的数量、工作量)为说明每类插值函数的逼近度,需要引进函数的度量,命其中n=1,2,3分别对应一维,二维和三维情况。都是非负整数。逼近定理设f(x)是给定在Ω上的函数,它使得有意义,是f(x)的插值函数,它在位移光滑的区域上有L-1阶连续微商,而L阶微商在上分块连续,如果它对于K次多项式是准确的,即,则有估计式(4.2)其中是所有插值单元的最大直径,M是与h,f无关的常数。(注)是插值运算因子,,即把f(x)变为(一)一维插值1.线性插值(Lagrange型)与长度坐标Lagrange型:只要求插值多项式本身在插值点上取已知值(=f(x))Hermite型:除本身外,还要求多项式的微商(,法向微商)在插值点上取已知值。插值函数的定义设区间[a,b]被分成若干单元,节点为已知函数在各节点的值,插值函数使得1020在第一单元上是一次式。(4.3)线性插值函数的性质10在[a,b]上连续,有分段连续微商。20若f(x)取作一次多项式,则就是它本身,即,从而由逼近定理有估计:其中30总体自由度为N(即N个节点)为了表达更简洁,下面研究长度坐标,回忆上一章线性插值基函数的线性变换[式(2-32)到式(2-35)]将e变成平面上的标准三角形OAB。另外又把N变换成三角形弧长的一次式[式(2-35)]01AB1λ2λ1ePi(t=0)Pj(t=l)Pm这里,研究一个小区间:令(4.4)则(4.5)称为单元上线性插值基函数,很有用(这样,无论对于哪一个单元都可以用同一形式表示)恰好又为长度比:(4.6)λ1λ211xiXi+1性质:10记点的坐标为,则有(4.7)这说明坐标X与满足关系式的()之间有一一对应关系,()可作为坐标,称为长度坐标(只有一个变量独立)。20单元顶点和形心的长度坐标分别是(1,0),(0,1)和()。30任一k次多项式是的齐k次多项式,反之亦然(由于,任何数乘以1还是原数,只须对的任一项乘以使可得到的齐k次式)另:把k次多项式化成的k次多项式虽可有多种不同的形式,但齐k次多项式却是唯一的。只要证明对任何有,即有这是因为在开区间(0,1)中任取k+1个不同点,由于当时(4.8)其系数行列式为如时,有,故式(4.8)的解40若取为独立变量(),则L为为顶点的单元的长度。x1X2Q1Q2为方便起见,把对x的积分换成对长度坐标的积分,特别是当被积函数本身已由长度坐标表出的时候。(4.9)任意区间标准区间[0,1]注意Euler积分公式(4.10)利用式(3.9)直接得到(4.11)这个公式在计算线单元“刚度系数”和“荷载向量”常用2.高次Lagrange型插值(1)的定义:已知函数在各单元顶点和中点的函数值和要求:1020在每个单元上是二次式。给中点值的原因是三点能使二次式唯一确定。有两种方法可以证明10与上次课一样,列出然后证明系数行列式但此法在处理高维插值时比较复杂20思路是或要证的唯一性,只须指出若,则在上二次插值函数是一个多项式且由假设有故其必然同时含有因子即因为二次式,故必有,则方法简单易推广。基函数(4.12)称为单元上二次插值的基函数,很容易从长度坐标得到。从图形看用长度坐标表示时:考虑到,则则必含因子,再要满足(即时),则可写出(4.13)(2)的性质(i)在上连续,且有分段连续微商同理(ii)当是二次多项式时,就是本身,即从而由逼近定理估计一般说来,总还可以构造更高次的Lagrange型插值函数,如当中加两个点等等。这样插值函数逼近的精度会有所提高,但充滑性并不增加,不合算。如作位移模式,仅位移连续,而转角等不连续。因此,如需在单元顶点上增加微商条件的话,拟采用Hermite型插值。(iii)的总体自由度:2N-13.三次Hermite型插值(1)的定义函数在每单元端点的函数值和微商值,使满足1020在每一单元上是三次式根据条件(即),多项式中必含及项,从而,否则至少4次.为构造,要在每个单元上构造四个基函数,即这些基函数应满足:(4.14)用长度坐标表示,注意到,则由可知这样必含项,故导数要为0,根据长度坐标的性质(3),的多项式为齐3次多项式,这样可将表为为待求系数利用之条件,有得到同理得式(3.14)也可写成(4.14a)(4.15)(2)的性质:(i)在上有一阶连续微商和分变连续的二阶微商。(ii)如为三次多项式,则就是本身,即则有估计式(iii)总体自由度:2N归纳一下:一维插值讲了三种插值多项式,分别为①线性Lagarange型②高次Lagrange型③Hemnite型并分别叙述了它们的充滑性,逼近度和总体自由度,这也是谈插值必谈的三点,根据这三点,权衡精度和工作量这对矛盾的统一体来选择或构造各种不同的插值多项式。在讲一维插值中多次利用长度坐标这为我们方便地写出插值基函数提供了条件,需熟练掌握,在二维插值中,这种思想将发展成面积坐标。在这里再次强调的定义(二)二维插值1.二维插值的特点:一维的推广,但情况复杂一些,如10两个相邻单元结点的连续可微不等于边的连续可微性,因此对每个插值函数在整个区域上的连续可微必须认真考虑。20插值点既可以是单元顶点,又可以是单元边界点,甚至内点插值,因此对总体自由度方面要有新认识。引理三角形剖分NP:NE:NS≈1:2:3四边形剖分NP:NE:NS≈1:1:2证:(三角形)Ω内总内角和ψ,每一单元和π,故ψ=πNE从顶点看,每点周角2π,故其中α为边界节点的外角,为边界节点总数。对于一般结构来说,外角总数总是远远小于结点数的。现在上式中NPπ,则分母远远大于分子,因此在结点足够多时,可认为则即对于边,一个单元三条边,每条属于Ω内部的边又与两个单元相联,有其中为边界上的边数,显然是一个小数,当边足够多时,可认为近似为0证毕。四边形单元的情况类同,证明从略,从式子中可以见到,多边形单元加内点并不合算,加一个点的工作量等于加一个单元的工作量。2.线性插值与面积坐标(1)线性插值型(即Lagrange型)插值:一次式表示空间平面,根据插值函数的定义它通过三个定点只要此三点不在一条直线上,这样的平面显然是唯一确定的。因此插值函数写成(一次式)(4.16)亦即单元e上有(4.17)单元e的基函数,均为一次式且满足(4.18)Q2Q3Q1我们在平面问题中已谈过三角形单元,基函数可取(i.,j=1,2,3)若在e上定义则(4.19)其中在第三章一开头我们谈过主要研究一个插值函数的连续性,逼近度和整体自由度,下面讨论一下这三个问题。连续性:三角形上的线性插值在一条边上的值等于此边两端节点所作的线性插值,由一维插值的唯一性即知在任何两个三角形单元的公共边界上连续,从而在整个上亦连续。逼近度由插值的唯一性有从而由逼近定理有估计(4.20)看图,在一面问题中我们已讨论过基函数的性质,特别是(3.23)式,我们已给出过这里我们再详细讨论一下。回顾式(3.23)总体自由度NP(2)面积坐标线性插值基函数很有用,深入讨论同理:(4.21)令由基函数性质(注意式2.31),有显见与x,y是1-1对应的,依频于通常称为面积坐标(或重心坐标齐次坐标)前已(4.22)(4.23)(4.24)谈过,把x,y平面上的各单元e都变为平面上的标准三角形OAB。(3)面积坐标的性质:10三角形三顶点和形心的面积坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)和01AB1λ1λ2xy0BAλ2λ120三角形条边的方程分别为30下图,过任一点Q作平行于的直线分别交两边于两点,则在线段上恒有Q2Q3B3QB2Q1有类似结果40任一x,y的k次多项式是的齐k次多项式,反之亦然(只须对每个次单项式乘以,再展开便得的齐k次多项式,反之亦然——在一维Lagrange插值中证过类似情况)50取为独立变量,则利用式(4.24)(4.23)得(4.25),故有解联列方程组。同理(4.26)(4.27)插值函数用面积坐标表示在积分计算中有很大方便利用(3.10)式Euler积分得到一个十分有用的公式若令3.高次Lagrange插值1)二次插值以六结点二次三角形为例,知在各单元顶点和各边中点上的值,求函数在任意e上有(中点)i=1,2,3这种b结点元具有12个自由度,单元中的应力是线性的,不再是常数。①唯一可解性:(思路与一维高次Lagrange的证法是一样的,对于边即为一样)设,在边上,因,故是二次式,以二次式在和三点为0。故由一维二次插值的唯一性知在上必恒为0,这样它必含。同理它亦必含故但根据假设,在点即故c=0即这样就满足了唯一性。由于在每一边上唯一,因此两个相领单元公共边的必连续共属②基函数有两类:(4.29)其中(i)(ii)单元上是二次式。试求要求直线方程则必含则再求要求直线方程方程则必含则利用对称性,即写出其他基函数(4.30)③逼近度因,故有估计④总体自由度比较一次插值,总体自由度为NP,现在提高一次,变为4NP,工作量增加很多,但是光滑度仍然是不基函数的图形够的,所以用高次插值要权衡一下利弊。除二次线性插值外,还有三次插值,受阻制的三次插值等三角形单元。由于实际中用得不多在此只作粗略介绍。2)三次插值形心C,共10点,10个基函数基函数(4.31)连续性逼近度总体自由度3)受限制的三次插值总体自由度增高多占不少内存,想要减少一点,但对L型插值来说,边上4个自由度是不可少的,要保证三次和相邻元连续,因此只能在形心上想法,表面上看,去掉三次式的某项作不完全的三次插值是可行的,如去掉项,这样的不完全三次插值是唯一的,但又是无用的,因它对一次式都不准确。如一次式中就包含,去掉后不准了,所以要选择的三次插值函数的原则为:逼近度尽可能高,三次不准则退守二次准确。一般二次多项式的形式为(4.32)化为齐次式有对于插值函数(三次)欲使,必须满足条件(E)(E)(4.33)问题归结为求,使1020在单元上是的齐三次式(即的三次多项式)且系数满足条件(E),故亦称为受限制的三次插值。基函数原来的基函数除(E)外,其他基函数的条件显然满足,三条边上故只要改变原基函数中项系数,使其满足(E)即可。原来可令据条件(E)定出故有三条边上这项为0,改变系数不影响在节点之函数值。故必定是基函数。类似有:连续性逼近度总体自由度重新回顾三角形剖分,每边加一个自由度等于顶点加三个自由度,内部加4.Hermite插值一个自由度等于顶点加两个自由度,因此增加边上自由度很不合算。另外用Lagrange型插值次数再多也只能保证插值函数在上连续,而不可能有导数连续,因此研究Hermite型插值是有意义的。(1)三次插值,插值函数使在每个单元上满足:1020是的齐三次式(亦即的三次式)唯一可解性:设在边为一个自变量的三次式(在点A1A3A2C点也类似情况)。由于已设点在x,y向微商为0,故对任意方向,特别是向微商亦为0,从而边上有四个条件由一维Hermite三次插值的唯一可向性可知从而必含因子,同理还含有因子,故但因,则k=0,故基函数:构造10个对面积坐标的基函数和要求:(i)角点位移内点位移角点导数角点导数(ii)在e上都是三次式表达式(4.35)求具体值:六个系数,利用六个条件求,即有得到故亦含有因子,故与应有相同的一般表达式,代入相应插值条件易得:适当输转角标有类似地由知k=27,故(4.36)要注意这样的基函数得出的插值函数的表达式,乘在前面的系数应是和若所给微商是和故(4.37)亦即相当于在x-y平面上
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