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2Hermite型插值（1）双三次插值在矩形每顶点各给定4个自由度4点16自由度正好决定双三次式16系数。唯一可解，且具有连续性，可作协间板元。插值多项式可表示为：A2A1A3A4（4.52）16个基函数可以根据条件写出，但更方便的方法可以作为一维三次Hermite插值基函数的乘积得到，回忆一维三次插值基函数一维看，时。时既要满足函数值，还要满足一次函微商值.向，向，两式乘得16个基函数注意原来一维问题中的相当于现在的（向）或（向），故（4.53）去掉每个顶点的二阶混合导数的值，构造不完全的双三次插值是可行的。为保持对称性和逼近度，扔掉双三次式的四个最高阶项：2）不完全双三次插值（Adini元）A1A3A4A2特点：唯一可解，总体自由度减少，仍对三次多项式准确，不降逼近度。连续性差一些，因法向微商在公共边上连续间断（只在点上有），只能属，只能作“非协调板元”。构造基函数可用不完全双二次插值中“方法2”构造，利用Taylor公式，且注意到三次多项式的四阶以上微商都为0，最后得到表达式：和。（4.54）（四）任意四边形剖分与等参数单元1．等参数单元（isoparametricelement)的定义已述的三角形剖分简便、灵活、对边界逼近好，但应力精度差。矩形剖分中双线性插值精度好，但对边界的逼近差，因边界上并不一定是直角的，为了使两者的优点兼有，引进任意四边形剖分是必要的。分成任意四边形后，已不能象矩形那样双线性插值，因为不能保证插值函数在域的连续——不能协调。进一步解释，两边不垂直，不与坐标轴平行，就可表为形式。A1A3A4A2-11-11ξη0x0yA’1A’2A’3A’4o’ηξ这样，如再想使这边保持一次函数不可能了（双线性，固定住x或y,y或x呈线性变化，现在y和x有关,从而在该边上一般是x或y的二次函数），但一个二次函数仅靠两端函数值不能唯一确定。解决的办法：仍象往常一样，把它变到平面的一个标准区域的四条边界上只是一个变量的线性函数，由两端点函数值可唯一确定。变到标准矩形后，基函数的表达式就可用原来的矩形单元的双线性插值，即（4.55）为顶点的局部坐标，但要注意：局部坐标与整体坐标关系变了，要有新的坐标变换的表达式。这个坐标变换作出后，由上述基函数对应的插值公式对一次多项式——特别是应该准确，即应有（4.56）经过如此变换，四条边变换成平面，标准矩形的四条对应边。如：方程为，对应有A1A3A4A211ξη0-1-1将上式展开时，（即点）时，（即点)因此，x,y的表示式为一条直线的参数方程，这条直线即。这种单元的特点是，坐标变换和插值函数都是以节点值为参数，参数数目相同，采用的基函数相同，故称等参数单元（等参单元、等参元）.图如前页，在等分对边的两族直线上，四边分别为2．使用等参元的注点和须说明点：（1）前已证明的转换，反过来能否成立，亦即Jacobi是否？（4.57）若证（4.57A）则为的线性函数，要使其恒不为0，只要做到在四个点的值同号就行了，因为只要都大于0，那么当中就不会有0点，那么如何才能保证达到这点呢？假定四边形四顶点恒以逆时针向排列（注意总是如此，在编节点号时注意，否则，停机或出错，三角形元同样如此，并记为四内角，则根据式（3.57A）(因)仔细推一下，看左图（重新画得锐角小一点）连辅助线，如DEF点。知代入，消去项，得到再改写，这样注意到（因，等高同底，且同减）故再推一步，看左图即从而得同理注意到，故当且仅当时，同号，亦即同号，且为正号，即这说明了如果想要与一一对应，四边形也不能过份任意，只能是凸四边形，绝不允许出现凹角，从收敛速度及精度角度来看，划分单元时使四（2）基函数都以局部坐标给出，要得整体坐标下的基函数是困难的，但有限元法刚度阵的建立过程都是内角的值差异小一点比较合理，能用矩形处尽量矩形，实在不行，钝角不宜过大。按单元计算再逐步叠加的，因此也无必要建立整体坐标下的表达式。坐标变换后，求时积分区很规则，但被积函数加一个。一般情况下直接积分不可能，要求助于数值积分。有关高斯积分稍后（3）单元形状与基函数关系：从等参元的定义已知，它是以局部坐标为基础，借助局部坐标表示的基函数建立的坐标变换把该等参变为标准的矩形。这就是说，一个等参单元实际上只依赖于标准矩形上的基函数（如四边形元中的，以及单元本身在整体坐标系中的坐标值（如），其他再不必知道什么条件。于是，可以很方便地构造出一些再谈。许多等参元。前述lagrange型插值的基函数均可对应等参元。（但是，由于等参元的坐标变换基函数都只有坐标值而无微商，故Hermite型不能适用）比如不完全双二次插值（即四边形8节点等参元）基函数：（4.58）是标准矩形之坐标。标准矩形对应的等参单元四边均为二次曲线，现在并不需要这种曲线的表达式，而只要给出与标准矩形对应的8个点是因为等参数单元是由标准矩形经坐标变换来的，变换式为和即可，这（4.59）显然，只要给定，曲线形状就唯一确定。顺便说一句：等参元不仅内部精度高，边界逼近也比三角元好，非常重要。8点元用途广，可算曲边，反应受弯。（4）如归纳一下，等参数元的特点可写为确定未知函数确定几何形状相同的插值基函数，故称等参单元。此外，由于等参单元是由标准矩形的基函数来表示的，前已证明这个基函数是保证单元协调、连续的，故等参单元的协调性、连续性没有问题。除等参数单元以外，在实际应用中还有超参数单元（Superparametric）和次参数（或亚参数）单元（Daoparanetric）从图上看：超参：确定单元形状的基函数多于位移函数的基函数（图上仅4个点）（坐标插值阶数高于位移插值阶数）次参：确定位移函数的基函数多于确定单元形状的，这种单元用得较多。它也符合收敛准则的。（值得注意的是，某些书次参、超参与上述定义相反）据K.J.已特，E.L.威尔逊书，超参元的厚壳、薄壳有优点，可见专门书籍。在等参数单元中，最常用的平面单元是四边形四节点、四边形八节点，前面已谈过即使是任意四边形，也不能过份“任意”，在8节点元中还要注意，由于标准矩形中的点都是在边中点的，故单元棱边上的点也尽量在中点。否则对应变精度有影响。右图情况中点移到处，角点1的应变（当然（五）三维情形在实际工程中并非所有问题都可简化为平面问题的，如拱坝就是一个典型的空间问题，因此要引进三维有限元。最简单的三维插值是四面体线性插值，基函数为，在第二章“有限元方法基本方程断裂力学中用此来解裂缝问题，另当别论），曲边单元也要注意。jmil的建立”中已谈过。实际上，这4个基函数即为体积坐标，与面积坐标有相似的性质和定义，且有算式（4.60）为单元体积。但这种单元精度差，工作量大（占内存多），部分易出错，用途不大，略过,重点介绍下面两种单元。1．8节点等参单元这是个六面体等参元在三维空间中取一个标准区域A1A2A3A4A5A7A6A8Oξζη比平面问题多一个ζ坐标，问题就由平面扩展为三线性插值，基函数表为（4.61）空间任意给定八个对应节点的整体坐标值，由基函数可决定一个8节点等参单元，相应坐标变换为：（4.62）Jocobi矩阵（4.63）（4.64）此式将整体坐标的积分转到局部坐标的积分。由于得到（4.65）单元刚度阵8结点q=8其中单刚中的元素（4.66）由于很难写出解析式，所以都要用数值积分。8点元六面一般说不是平面，而是两族直线交织成的直信面。但剖分时不需知道这些面的准确形状，剖分时只要有大致形状即可。2．20结点等参单元内部插值有更高精确度，边界上对曲面边界的逼近更好，在每边中点给一个插值条件。不完全的三二次多项式插值，所谓三点是指三个方12345768Oξζη15111812192010131491617向均为不完全二次插值。完全的三二次插值有点，故现在要加7个限制条件。去掉公项，插值多项式仍唯一。在ξ=1,η=1,ζ=1三平面上，除1，9，13，17四点外，其余16点都已包括，这样再过9，13，17三点作一平面，其方程故类似方法得全部基函数（注意：按上页图示编号情况下）（4.67）需要说明的问题：（1）每条棱边均为二次曲线，侧面为两族二次曲线交织成的曲面，不必知这些曲面、曲线的准确形状，只要知20点坐标即可。（即)；（2）坐标变换式，Jacobi矩阵，基函数对整体坐标的微商与对局部坐标微商的关系均与8点等参单元相似，只要把“8”改成“20”即可。（3）上述两种元形状也不可过份“任意”，也要考虑（4）8点三线性和20点三二次插值所缺七项都对局部坐标而言，对整体坐标并非如此。（六）数值积分和单元特性的计算求“刚度矩阵”和“荷载向量”时，并计算，之类积分，用高次插值尤其等参元时，被积函数复杂，只能数值积分。因此数值积分占很重要地位。问题。1．一维高斯积分不失一般性，可设积分区间为[-1,1]，数值积分公式一般表为（4.68）称积分点，称权系数。衡量积分公式好坏的标准称代数精确度。代数精确度m——即该公式对m阶多项式精确成立，如几个积分点给定，则由几个点可唯一确定一个n-1次多项式，它就是Lagrange插值多项式。oxf(x)-1+1f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)x2x3x1x4若证则Lagange插值多项式为若n取2，则为Lagrange线性插值（与原来一样的）（4.69）如Lagrange插值多项式的积分代替f(x)的积分则式（3.68）中的权系数为：（4.70）它与f(x)无关，只依赖于积分点位置和总数n。此积分式对n-1次多项式准确，即至少有n-1次代数精确度.现在的问题能否再提高精度？积分点有几个，权函数有几个自由度，如果把积分点的位置也作为自由度（即也需要求的，先不确定），这样几个点又增加了几个自由度（权系数加点位）,即有2n个自由度，对2n-1阶多项式准确——这即为高斯积分方法.Gauss积分，要解决如何选择位置，如何使它准确。若f(x)为一个2n-1阶多项式，p(x)为n阶多项式(它是待求的），则可写成2n-1nn-1n-12n-1()即n-1阶多项式其中q(x)为n-1阶多项式，r(x)亦为n-1阶多项式，可称为余量。由于对任意固定的，由式（3.69）确定的积分式（3.68）至少有n-1次代数精确度，在这种情况下对f(x)总是准确的。现在公式对2n-1阶多项式准确，只需对准确，即只要使（4.71）成立即可，要成立，待定n次多项式p(x)要满足两个条件：（i）（ii）为什么要有这两个条件，先看（i），当时，式（3.71）左右均为0。等式成立，再加（ii），右边始终等于0，因只可能取点值，在这种情况下，对任何n-1阶多项式q(x)，（4.71）式都满足。左边是连续函数，要使，且，则意味p(x)对任意n-1次多项式或正交，即每一项为0，有这一条件，那么满足这个条件的多项式即为勒让德（Lagendre）多项式，用罗巨格（Rodrigue）公式表示为（4.72）证明，将勒让德多项式代入条件（ii），可见其中由分部积分对任一有2n阶多项式在均为n重零点。微商一次所得的2n-1阶多项式在各有n-1重零点。据Rolle定理，它的一阶微商在开区间(-1,1)中必有一个零点，重复几次知n阶微商在开区间（-1，1）必有几个不同零点，即n次Lagende在（-1，1）中必有几个不同的实根。取这几个实根为积分点，条件（i）也是满足的。这样，取Legendre多项式的根为积分点，再按式（3.70）求权系数，便可使积分式（3.68）有2n-1阶代数精确度。下面来试求几个积分点和权系数：，则根为，其根为，，，归纳，从到，Grauss积分公式的积分点和权系数可见下表nixiHnxiHi10221,1,340.34785484510.65214515495/9,8/9,5/9560.23692688500.47862867040.56888888890.17132449230.36076157300.4679139345（有些书称Gauss－Lagendre数值积分）2．高维Gauss积分公式可根据一维公式逐次积分得到二维（4.73）三维（4.74）从图形上看：四边形域