材料力学-梁的挠度

§7–1概述§7–2梁的挠曲线近似微分方程§7–3积分法计算梁的位移§7–4叠加法计算梁的位移§7–5梁的刚度校核目录§7－１概述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与f同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：v=f(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量(1)ddtgfxf小变形PxvCC1f§7-2梁的挠曲线近似微分方程zzEIxM)(1一、挠曲线近似微分方程zzEIxMxf)()(式（2）就是挠曲线近似微分方程。EIxMxf)()(……（2）)()1()(1232xffxf小变形fxM00)(xffxM00)(xf(1))()(xMxfEI对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：)()(xMxfEI1d))(()(CxxMxfEI21d)d))((()(CxCxxxMxEIf1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD§7-3积分法计算梁的位移讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或写成CC右左或写成CCff[例1]求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMfEI12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161;21PLCPLC解：PLxfx写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程)(0)0()()(LxaaxaxPxM写出微分方程并积分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf)(0)0()(LxaaxxaPfEIxfPLa[例2]求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。应用位移边界条件求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161;21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC2121DaDCaCPLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线)(a36)0(3)(6)(32323LxaxaEIPaxaxaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxf[例3]试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。解：1．外力分析：求支座约束反力。研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：FRFRlFlRmFRRFBABABAy5.15.005.102．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：)23(212211xlFMFxM)23()0(21llxlx，，3．变形分析：AB段：由于积分后得：EIFxEIxMy2)(1111111311111211112111111124)(42)(DxCxEIFDxCdxxEIFxyCxEIFCdxxEIFyxBC段：由于，积分后得：)23()(2222xlEIFEIxMy2223222222222222222222222)6143()2123()()223()23()(DxCxlxEIFDxCdxxlxEIFxyCxlxEIFCdxxlEIFyx边界条件：当连续光滑条件：代入以上积分公式中，解得：0002211ylxyx时，；时，212121，时，当yylxxEIFlDDEIFlCEIFlC4065123212221，，，故挠曲线方程和转角方程分别为：由此可知：EIFlxlxEIFxEIFlxEIFx3)2123()(124)(22222222111EIFlxEIFlxlxEIFxEIFlxEIFy465)6143(121232232221231)(8)23()(12)0(322211向下；逆时针方向EIFllxyyEIFlxCA§7-4叠加法计算梁的位移一、载荷叠加多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。121122()()()()nnnPPPPPP、、121122()()()()nnnfPPPfPfPfP、、二、结构形式叠加（逐段刚化法）[例4]按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、①载荷分解如图②由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafEIEIqaqA33qqPP=+AAABBBCaaEIPafPC63EIPaPA424524qCqafEIEIqaqA33qqPP=+AAABBBCaa③叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534[例5]试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。（已知AB=BC=l/2）(a)(b)+解：将原图分解成图(a)和图(b)所示情况。查表，对于图(a)有：)(82)2()(243)2(221331顺时针，向下EIlFEIlFEIlFEIlFyBB于是有：对于图(b)有：故梁C截面挠度为：转角为：(顺时针)说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为直线。EIFlEIFllEIlFEIlFlyyBCBBC8,485)2(824)2(211323111)()(222023202顺时针，向下EIlFEIlMEIlFEIlMyCC)(4829248533321向下EIFlEIFlEIFlyyyCCCEIFlEIFlEIFlCCC89822221[例6]按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加22(d)(34)48dPCPbLbfEIbLbqxxqPd2d)(d02220(34)d24qbLbbEILdPCqCff22240.5000(34)d24240LqbLbqLbEILEIq00.5L0.5LxdxbxfC[例7]结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf§7-5梁的刚度校核))10001~2501(:对土建工程(maxLfLfLf一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸：、设计载荷：(对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）maxLfLfmaxmax[例8]图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长a=200mm的正方形，均布载荷集度，弹性模量E1=10GPa，钢拉杆的横截面面积A=250mm2，弹性模量E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位移。kN/m40q解：静力分析，求出支座A点的约束反力及拉杆BC所受的力。列平衡方程：kN40,40012202BABABAyFKNRqFmqFRF本题既可用积分法，也可用叠加法求图示梁D截面的挠度。积分法：拉杆BC的伸长为梁AB的弯矩方程为挠曲线的近似微分方程积分得：mm29.2m1029.210250102103104036932AElFEANllBxxxRxqxMA40202)(22)4020(40103124020)(224121xxaExxIExMyDCxxxyCxxy)3201220(10403)20320(10403342232，边界条件：当时，；当时，代入上式得故当时，。叠加法：说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移，与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。0x0ym2xm1029.23ly010145.113DC，xxxy334210145.11)3201220(10403m1xmm395.7m10395.73ymm395.7384253212114221IEqAEFflyyyBPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB[例9]下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001，B点的[]=0.001弧度，试校核此梁的刚度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：结构变换，查表求简单载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m1018810)4080(6414.3)(64dDIm1019.533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423.0)320016400(18802104.03164221弧度EILaPEILPB001.010423.04maxLfLfmax校核刚度m101m1019.556maxff一、挠曲线近似微分方程的近似性反映在哪几方面?二、用积分法求图示组合梁的挠曲线方程时，需应用的支承条件和连续条件是什么?三、长度为L，重量为P的等截面直梁，放置在水平刚性平面上。若在端点施力P/3上提，未提起部分仍保持与平面密合，试求提起部分的长度。EIxMxv)(dd22第七章练习题解：A点处梁的曲率半径为,