材料力学-第三章-扭-转

第三章扭转§3-1概述工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕着杆轴线转动，这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆件称为轴（shaft）。外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于杆轴线的平面内。变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角，用j表示；纵向线也随之转过一角度g。TTφγ扭矩的计算扭矩图1.扭矩用Mx表示，单位：N·m,kN·m。2.符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正，反之为负。3.计算方法：截面法扭矩图以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面的位置；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为扭矩图。例画出如图所示圆轴的扭矩图。T3TTT123321ABCD功率、转速与外力偶矩的关系W=Tφφ=ωtP=WtT=Wφ=Ptωt=Pωω=2nπ/60n—转速（转/分），P以kW计，则T=9.55Pn（kN·m）应力分布应力公式变形应变分布几何分析平面假定物理关系静力学方程§3-2圆杆扭转时的应力一、横截面上的应力OMxrTT周线纵线周线纵线1.变形几何关系γ（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。（2）所有的纵线都转过了同一角度g。abcddxabcddxabcdabcdc'd'φγTT周线纵线φγabcddx（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。（2）所有的纵线都转过了同一角度g。平面假设：横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。由表及里，里外周线变形一致dxcabO'dO分析横截面上应变情况c'd'djggf'e'cdd'c'周线纵线abcddxfegdjdxg≈tang==ee'dxg=djdx=θθdjdx=称为单位长度杆的相对扭转角——几何方程dxcabO'dOc'd'djgfegf'e'g2.物理关系切应变发生在垂直于半径的平面内，从而切应力也垂直于半径。根据实验得到，在弹性范围内τ=Gγ剪切胡克定律gG为切变模量cdd'c'横截面上切应力的分布规律Mxoτ=Gγρρ3.静力学关系oMxτdArρdAρMx=ρτρdA∫AMx=Gρ2dA∫Adjdx=∫AdjdxGρ2dAdjdx=Gρ令Ip=∫Aρ2dA=∫AdjdxGρ2dAMx=djdxGIpdjdx=MxGIp故从而τ=ρMxρIpτ=maxMxrIp=MxWpWp=Ipr称为扭转截面系数截面的极惯性矩GIp——抗扭刚度二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算1.实心圆截面Ip=∫Aρ2dAπd432==πd316dA=2πρdρIp=∫Aρ2dA=ρ2·2πρdρ∫0d/2dρdρoWp=Ipr2.空心圆截面DdoρdρIp=πD432=(1-α4)πD432-πd432Wp=πD316(1-α4)α=d/D3.薄壁圆环截面30P2rI=δr0Ddd0o20P2rW=例直径为50mm的传动轴。电动机通过A轮输入功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为TA=3.18kN·m，TB=1.43kN·m，TC=0.80kN·m，TD=0.95kN·m。（1）作轴的扭矩图,(2）求轴的最大切应力。Mx/kN·mx+-1.431.750.95解：1.作扭矩图2.最大切应力Mx/kN·mx+-1.431.750.952.最大切应力mkN75.1max=xM1605.014.31633P==dWMPa4.71105.241075.163Pmaxmax===WMx36m105.24=解：各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN·m（1）实心圆截面dTTD/2TTD343933Pm1096.116m10)100(14.316π===dW例直径d=100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为0.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？MPa0.51N/m100.51m1096.1mN101026343Pmaxmax====WMxdTT343933Pm1096.116m10)100(14.316π===dW（1）实心圆截面（2）空心圆截面D/2TTD)1(441222=Ddmm115=D34439343Pm108.2])5.0(1[16m10)115(14.3)1(16π===DWMPa7.35N/m107.35m108.2mN101026343Pmaxmax===WMxMPa0.51N/m100.51m1096.1mN101026343Pmaxmax====WMx实心：空心：由面积相等，且内、外直径比α=0.5例两空心圆轴，横截面面积相等，内、外直径比值分别为0.6和0.8，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切应力大？0.6D1TTD10.8D2TTD2线弹性材料，弹性范围内加载，两种材料共同变形1.横截面上的切应力怎样分布；2.横截面上两种材料交界处的切应力是否连续；3.横截面上两种材料的最大切应力。G1G2d2dG2G1Mx思考题(b)dxdy三、切应力互等定理xdx(a)o'oτττ'τ'(dydz)dx=('dxdz)dy∑MO'O=0故='扭转圆轴纵截面上切应力？切应力互等定理：在任何受力杆件中，过一点相互垂直的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并共同指向或背离这两面的交线。这是材料力学中普遍适用的一个定理dxdyo'oτττ'τ'='§3-3圆杆扭转时的变形•扭转超静定问题一、圆杆扭转时的变形θdjdx==MxGIp单位长度杆相对扭转角dx微段相对扭转角dj=θdx长l的圆杆两端截面相对扭转角=j=dj∫l∫l0MxdxGIp当杆长l范围内的Mx、G及Ip为常数时MxlGIpj=(rad)扭转角：横截面之间的相对角位移。例图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1=0.82kN·m，T2=0.5kN·m，T3=0.32kN·m，lAB=300mm，lAC=500mm。轴的直径d=50mm，钢的切变模量G=80GPa。试求截面C相对于B的扭转角。解:AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kN·m，Mx2=0.32kN·m。T2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACφACP2GIlMACxAC=jrad0033.005.03210805.032049==Mx1=0.5kN·mMx2=0.32kN·mlAC=500mmG=80GPad=50mmT2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kN·mMx2=0.32kN·mlAB=300mmG=80GPad=50mmφACφABP1GIlMABxAB=jrad00310.=rad0002.0==ABACBCjjj4905032108030500..=二、扭转超静定问题杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出，这类问题称为扭转超静定问题。其求解方法与拉压超静定问题类似。ABCTabTATBABCTabTATB变形协调条件A、B两固定端,φCA与φCB的数值相等。PP1GIaTGIaMAxCA==jPP2GIbTGIbMBxCB==j故BATabT=从而TTTBA=平衡方程TbabTA=TbaaTB=思考题：横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？§3-4扭转时材料的力学性能由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T-j曲线TMrrx==00)2(202rT=jg0rl=jglr0=故可得τ-γ曲线δr0τ=Gγ剪切胡克定律E、G、v的关系)1(2=EGτp——剪切比例极限τs——剪切屈服极限铸铁：变形小，沿45o螺旋面断裂可得切应力强度极限τb实心圆截面实心圆轴的扭转试验还可得到切变模量G。§3-5扭转圆杆的强度计算和刚度计算一、强度计算等直圆杆扭转时的强度条件为式中Mxmax是危险截面上的扭矩。PWMxmaxmax=][三方面的强度计算：校核强度、设计截面和容许力偶矩。1.校核强度2.设计截面3.求容许外力偶矩τmaxMxmaxWP=≤[τ]MxmaxWP≥[τ]Mxmax≤WP·[τ][τ]=τunτu——极限切应力对于脆性材料τu=τb对于塑性材料τu=τs[τ]=（0.5-0.6）[σ]塑性材料脆性材料[τ]=（0.8-1.0）[σ]容许切应力例直径为50mm的实心传动轴。电动机通过A轮输入功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为TA=3.18kN·m，TB=1.43kN·m，TC=0.80kN·m，TD=0.95kN·m,[τ]=75MPa。（1）作轴的扭矩图,(2）校核轴的切应力强度。d解：（1）轴的扭矩图Mx1.43(kN·m)0.951.75-+-d（2）校核轴的切应力强度AC段截面扭矩绝对值最大Mx1.43(kN·m)0.951.75-+-轴的最大切应力MPa3.71N/m103.71m1605.0πmN1075.126333Pmaxmax====WMxMxmax=1.75kN·m[τ]=75MPa故该轴满足切应力强度要求。二、刚度计算(rad/m)[θ]为容许的单位扭转角，可在设计手册中查到。MxmaxGIp=θmax≤[θ]等直圆杆扭转的刚度条件为精密机器：一般传动轴：钻杆：[]=(0.150.3)o/m[]=(0.32.0)o/m[]=(2.04.0)o/m例一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力［τ］=40MPa，切变弹性模量G=8×10MPa，杆的容许单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。解：（1）轴的扭矩图Mx(kN·m)3.57++（2）求直径Mx(kN·m)3.57++3663pmm101750Pa1040mN107==.][maxxMW][maxmax=pWMxmm96mm10175016163363==.PWd（3）由刚度条件求直径][maxmax=pGIMx47451643pmm10512m10512m1802010108mN107===...][maxPaGMIxmm126105123232474P==.Wd47451643pmm10512m10512m1802010108mN107===...][maxPaGMIxMx(kN·m)3.57++综合考虑，应取d=126mm例直径D=100mm的轴，由两段联接而成；联接处加凸缘，并在D0=200mm的圆周上布置8个螺拴紧固，如图3-15所示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa；螺栓的容许切应力［τ］=60MPa，试求螺拴所需直径d。解：这个螺栓群接头所受的外力，是两轴段间所传递的外力偶矩T，因而是一个仅承受力偶矩作用的螺栓群接头问题。设每个螺栓的受力为Fi，至螺栓群中心C的距离为ri，由力矩平衡方程，得==81iiirFT0Q4DTF/=每个螺栓受剪力相等163PDWTmaxmax==kN11716403Q.max===DDFF则T可由轴的最大切应力求得每个螺栓剪切面上的各义切应力][==2QQQ4dFAFmm1191060π101174463Q..][==Fd螺栓所需直径§3-6非圆截面杆的扭转扭转后，横截面将不再保持平面问题的求解必须用弹性力学的原理和方法变形特征－翘曲非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生翘曲（warping）。自由扭转：两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时，各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力。约束扭转：若杆端存在约束或杆的各横截面扭矩