材料力学11 压杆稳定

111压杆稳定211压杆稳定11.1压杆稳定的概念11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式11.4临界应力欧拉公式的应用范围11.5超过比例极限时压杆的临界应力临界应力总图11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施311.1压杆稳定性的概念不稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度，还与其稳定性有关。4理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）作用压力P，给一横向干扰力，出现类似现象：（1）干扰力撤消后，直杆能回到原有的直线状态（图a）,类似凹面作用——稳定平衡；（2）干扰力撤消后，直杆不能回到原有直线状态（图c），类似凸面作用——不稳定平衡；（3）干扰力撤消后，直杆不再恢复到原来直线平衡状态，而是仍处于微弯的平衡状态（图b）——临界平衡状态，此时的压力Pcr称为压杆的临界力。bcaQ11.1压杆稳定性的概念5从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。实际的受压杆件由于:1.其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3.材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。11.1压杆稳定性的概念611.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式思路：假设压杆在某个压力Pcr作用下在曲线状态平衡，然后设法去求挠曲函数。若：(1)求得的挠曲函数≡0，说明只有直线平衡状态；(2)求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。7本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。y(a)xlxymmOyyPcry11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式8)210()210(222crcr，，，，nlEInPnnLEIPkl挠曲线近似微分方程：vPxMvEIcr)(欧拉公式—临界力为最小压力：22lEIPcrM(x)=PcrvxlxymmOyyOyxPcrPcr(a)(b)Fcrxyy设压杆微弯挠曲线的表达式为：xvy，则令EIPkcr202vkv其通解为：kxBkxAvcossin式中A，B为待定常数。杆的边界条件：代入通解得：000lxxvv0sin0cossin0klklBklAB11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式9在确定的约束条件下，欧拉临界力Pcr：有关，(1)仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A)(2)是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，(3)与外部轴向压力的大小无关。材料的E越大，截面越粗，短，杆件越临界力Pcr越高；临界力Pcr越高，越好，稳定性承载能力越强；22crlEIP11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式10此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取kl＝，压杆的挠曲线表达式可写成xlAvπsin注意到当x=l/2时v=d，故有A=d。从而知，对应于kl＝，亦即对应于Pcr=2EI/l2，挠曲线方程为xlvπsind可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式1111.3不同约束条件下压杆的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μ22lEIPcr22)7.0(lEIPcr22)5.0(lEIPcr22)2(lEIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABl0.7lCC—挠曲线拐点l0.5lPcrABCDC、D—挠曲线拐点Pcrl2l0.5lPcrl两端固定但可沿横向相对移动12表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：22crπlEIP式中，称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；l称为压杆的相当长度(equivalentlength)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为l的两端铰支压杆的临界力。上表的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度l。11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式13运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式1449123minm1017.410121050I21min2)(lEIPcr48minm1089.3zII22min2)(lEIPcr例1求下列细长压杆的临界力解：图(a)图(b)图(a)3010Pl图(b)Pl(45456)等边角钢yz11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式1511.4临界应力欧拉公式的应用范围在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Pcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scr＝Pcr/A来计算，亦即(a)π/ππ222222crcrsEilEAlEIAP16式中，scr称为临界应力；为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；l/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作，即AIi/il根据欧拉公式只可应用于scr≤sp的条件，由式(a)知该应用条件就是p22crπssE亦即πp2sEp或写作11.4临界应力欧拉公式的应用范围17可见就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照E＝206GPa，sp＝200MPa，有p2pπsE100Pa10200Pa10206ππ692p2psE通常把≥p的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把p的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。11.4临界应力欧拉公式的应用范围1811.5超过比例极限时压杆的临界应力临界应力超过比例极限时压杆临界应力的经验公式式中：a和b是与材料有关的常数，单位与应力相同。①spssu时：ucrbass0sbausbacr的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。p0的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。p的杆为小柔度杆，以极限应力su作为临界应力。0②sus时：ucrss（1）直线型经验公式：sbacr19iLcrs22sEcr③临界应力总图sbacrPsusb0suaPPEs2ucrss11.5超过比例极限时压杆的临界应力临界应力20(2)抛物线型经验公式211sbacr在钢结构中：①spssu时：c是细长压杆与非细长压杆柔度的分界值。ucs57.03的杆为细长压杆，其临界应力用欧拉公式求。c的杆为非细长压杆，以抛物线经验公式计算临界应力。c②sus时：11.5超过比例极限时压杆的临界应力临界应力21cucrssucrss21suscrOspp22sEcr③临界应力总图11.5超过比例极限时压杆的临界应力临界应力211sbacr2211.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施1.压杆的稳定校核ststcrststcr][PnPPnAN或sss三类问题：确定许用载荷、稳定性校核、截面尺寸设计确定nst，除考虑确定安全系数的一般原则外，还应考虑压杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故nstn。（1）安全因数法23][][][][ststcrssssss即n式中：[sst]—稳定许用应力；[s]—许用压应力；1—折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。(2)折减因数法11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施24例1确定图示连杆的许用压力[P]st。已知连杆横截面面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4，sp=240MPa，E=2.1×105MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。若在x-y面内失稳，=1，柔度为：解：(1)失稳形式判断7.73720/105.67001/4AILiLzz若在x-z平面内失稳,=0.5,柔度为：所以连杆将在x—y平面内失稳，其许用压力应由lz决定。9.39720/108.35805.0/4AILiLyyx580yzPPy700xzPPl58011.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施25(2)确定许用压力硅钢：ss=353MPa，计算有关的p和s为：60744.335357893240101.2522baEssppss连杆为中柔度杆。a=578MPa，b=3.744MPa，其临界载荷为：由此得连杆的许用压力为：(3)讨论：在此连杆中：z=73.7，y=39.9，两者相差较大。最理想的设计是y=z，以达到材尽其用的目的。kN218)(baAPcrkN3.875.2218][stcrstnPP11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施26mm7531mm1211012.ai4.11375.31106.313ilMPa33.2MPa066.2m10110N10252623ssAN例2图示木屋架中AB杆的截面为边长a=110mm的正方形，杆长l=3.6m，承受的轴向压力F=25kN。木材的树种强度等级为TC15，许用应力[s]=10MPa。试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。由于在桁架平面内AB杆两端为铰支，故μ=l。AB杆的柔度为233030002.折减因数为解:正方形截面的惯性半径为I－I截面a＝110ABII稳定校核满足稳定条件式，故AB杆是稳定的。11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施272.提高压杆稳定性的措施（1）选择合理的截面形状当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个反方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力,最经济的办法是将截面设计成空的,且尽量使从而加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.因此,对一定的横截面面积,正方形截面或圆截面比矩形截面好,空心截面比实心截面好.当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束.11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施28（2）改变压杆的约束条件增加中间支承、加固杆端约束支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施29在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，