材料力学14

第十四章超静定结构§14–1超静定概述§14–2用力法解超静定结构§14–3对称性及反对称性应用§14–4连续梁及三弯矩方程§14-1超静定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。2．静定、超静定结构静定结构或系统：图14-1(a、b)，解除约束变成了图14-1(c)的可动机构；图14-1图14-2超静定结构或系统：在静定系统上增加约束，称为多余约束，并因而产生多余约束反力。外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构(图14-2b,d)；内静不定：静不定结构内部约束形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构(图14-2a,c);混合静不定结构：内、外静不定兼而有之的结构。图14-2静定基：解除静不定系统的某些约束后得到的静定系统，称为原静不定系统的基本静定系（简称静定基），同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的的系统称为原静不定系统的相当系统。4．基本静定系（静定基）、相当系统3．静不定次数的确定根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。§14-2用力法解超静定结构一、力法与位移法力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过本构关系表示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。本节以力法为主，不涉及位移法。二、力法的基本思路：以一例说明图(a)是车削工件安有尾顶针的简化模型，这是一次静不定系统。求约束反力。解除B端约束成悬臂梁（亦可解除左端转动约束，简化为简支梁）。1.解除多余约束、建立静定基在多余约束处加上多余约束反力X1及外载荷P成图(b）。2.建立相当系统3.列出正则方程01111PX与原系统比较，相当系统B点的位移应为零，故有变形协调条件：01111XP其中Δ1P是外载在多余约束处引起的多余约束方向的位移(图c)，而是多余约束反力引起的多余约束方向的位移(图d)。11X11111XX代入变形协调条件，得力法正则方程：01111PX在计算时，可在静定基上沿多余约束方向加一单位力，单位力引起的位移为(图e)，对线弹性结构应有：1111X4.解正则方程，求多余约束反力其他方法求得：可用莫尔定理或与111PEIl3311alEIPaP3621)3(2321111allPaXP1X求得后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解即为原系统的解。三、n次静不定的正则方程njXj,...,2,1可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余约束力为00022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXXnjij1它们将引起作用点的相应的位移为,而原系统由与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有iX),1(njxjiiiiiijiijiPiiδXXX=1δXXX=1ΔXX表示作用点沿着方向由于单独作用时所产生的位移表示作用点沿着方向由于单独作用时所产生的位移表示作用点沿着方向由于实际载荷单独作用所产生的位移画图示结构的弯矩图。例121483)2312221(138)2322221(131111421311qaXEIqaaqaaEIEIaaaaEIPP）求解系统为多余约束，建立相当）解：B1qABCaa21XqABCa20M22qaPM021111PX）建立正则方程4242102qaMXMMqaMMPCCCPB）叠加法画弯矩图42qaM22qa为常数，求支反力。图示梁，例EI2-2-14llABqD33lEICllABqD1X系统为多余约束，建立相当）解：C10)1(21111PXC）建立正则方程)(2471247)4323132221(132)3221(2311114221311qlCXEIqllqlllqllEIEIllllEIPP）求解）据平衡条件，求得2ARBR)(1211)(245qlRqlRBAl22ql0MPM力，并画弯矩图。用力法求超静定结构反例3214P1114和利用图乘法求）求解）作相当系统为多余约束）选支座解：21BACBllqEIEI2031111PX）建立正则方程ACB1Xq22qlPM76)231(167)322121111132133211qlXEIqllqllEIEIlEIlllEIPP（14574210210qlMXMMqlXMMPAAACC）叠加法画弯矩图l11X0M1452ql72qlM画图示刚架的内力图。例4214。所以，，对称，故只有对称内力载荷剖开，由于结构对称，中间解：利用对称性，从03XCDABCDqllEIEIEIK2X3XqADK2X1X3XqADK2X1Xq0022221211212111PPXXXX正则方程为：EIqlqllqllEIEIqlqllEIEIlEIlEIlPP487)1823118(116)821(12233322242212211222311048723201623321242213EIqlXEIlXEIlEIqlXEIlXEIl解得：72512221qlXqlX3618725220210122022202qlMXMXMMqlMXMMqlXMMPAAAaPDDDKK01MlPM82ql102M362ql362ql182ql182ql2725ql)(M矩图。求超静定刚架并画出弯例521400222221211212111PPXXXX）建立正则方程aaABCDqa建立相当系统为多余约束，、选解CB)1:2X1X）求解3434321421322211211qaXXEIqaEIaPP）画弯矩图4a01M22qaPMa02M22qaM42qa练习1等截面梁如图，求B点的挠度。LP0.5LABCLP0.5LABCRC③、求解PXEIPLLPLLEIEILPP165485)652221(13111131311解：1、求多余反力①、C为多余约束，建立相当系统②、01111PX建立正则方程：Bf、求2)(7687)16565232(2221[13EIPLPLPLLLEIfBL0M2PLPM2L0BM练习2：求下列超静定结构的内力。aaABCEIEIq解：选C处的约束为多余约束0022221211212111PPXXXX1X2Xqa02M7328863234214241322312311qaXqaXEIqaEIqaEIaEIaEIaPP22qaPM2832qaPM282qaa01M14.3对称性及反对称性应用对称结构(图a)：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。正对称载荷(图b)：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。反对称载荷(图c)：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。(图c)(图a)(图b)1.对称结构在对称载荷作用下，对称截面上的剪力（空间问题包括剪力）为零，只有轴力和弯矩。2.对称结构在反对称载荷作用下，对称截面上的轴力、弯矩为零，只有剪力（空间问题包括扭矩）3.作用于对称结构上的载荷各式各样，但都可看成是对称及反对称两种载荷之叠加，而原载荷作用下的解即为两种载荷作用下解的叠加。对称性应用例14—3图示等截面圆环，半径为a，沿直径作用一对方向相反的力P，已知EI。求直径AB长度的改变。DCPPmnαBAO(a)解：圆环是封闭的，沿任一截面切开都有轴力、剪力、弯矩三对未知内力，为三次内力静不定结构。由结构及载荷的对称性,知，对称面C、D上剪力为零，只有轴力NC、ND和弯矩MC、MD（图11—4b）。PPBAO.X1X1(b)NcND为求11、△1P取基本静定系的四分之一研究。据对称性知A、B截面转角为零，可把A截面看成固定端（图c）。PPBAO.X1X12P(b)DP1PaM=(1-cos)2M=-1变形协调关系为D截面的相对转角为零，即0ΔXδ1p111又因上半部对称于AB,故NC=ND，MC=MD。利用平衡方程知NC=ND=P/2。据以上分析，圆环变为一次静不定结构，基本静定系如图(C)所示。.2PADX1(c)则ππ21P221P002ππ211221100MMad2PaΔ=4=(1-cos)(-1)dEIEI2Paπ=-(-1)EI2MMad4a2πaδ=4=(-1)d=EIEIEI将、代入变形协调关系得11δ1pΔ111X=Pa(-)2π.2PADX1(c)X1已知后，由式（11—4）知四分之一圆环内任一截面之弯矩P11Pa11M()=M+MX=(1-cos)-Pa(-)=22π1cosπPa(-)(0)π2211AB(d)求P作用下直径AB的长度变化，就是求A、B两点的相对位移，为此在A、B两点作用一对单位力（图d）。令式（b）中的P=1，得到单位力作用下的弯矩故A、B两点的相对位移11cosπM()=a(-)(0)π22ππ312220033M()M()ad4Pa1cosδ=4=(-)d=EIEIπ2Paπ2Pa(-)=0.149EI4πEI静不定桁架和组合结构1.由直杆以铰节点相联接组成的杆系，若载荷只作用于节点上，每一杆只承受轴向拉伸或压缩变形，这种杆系称为桁架。静不定桁架也可以用力法求解，正则方程中的系数和常数项。kkkjkiijEANNδlkkkikPiPEANNΔl原静不定桁架中各杆之轴力knnk22k11kpkNXNXNXNN2.用力法求解静不定组合结构时，正则方程中的系数和常数项kkkjkiljiijEANNEIdsMMδlkkkikPipipEANNEIdsMMΔll例11—4求图(a)桁架中各杆之轴力。EI相同。541P362aa(a)541P3624X1X1(b)解：此桁架为一次静不定结构。以杆4为多余约束，假想切开代之以多余约束反力X1得到静定系（图b)。因4杆是连续的，故切口两侧截面的相对位移为零，即0ΔXδ1p11111541(d)3624求出基本静定系在载荷P及X1=1作用下各杆之轴力，计算结果见下表。541P3624(c)表11—1a22-)22Pa(1lNNkk1kPP/2-aP2杆号klaaaa2123456kPNPkPNP000求和－－11112-kk1kPlNNkk1k1lNN1k1kPkXNNN－PaPa000Pa22aaaaa22a22－P/2-P/2P/22P/2P/-)a24(1lNNkk1k1由式（11—5）得EA)a24(1EANNδEA)Pa22(1EANNΔ61kkk1k11161kkk1kP1Pll将、代入式（a）得11δ1pΔ2PX1由式（11—6）知原结构任一杆件之轴力1kPkPkXNNN11.4连续梁及三