材料力学6弯曲变形1

第六章弯曲变形一、引言二、挠曲线的微分方程：1、弯曲变形的表示方法：（4）挠曲线：V=f(x)（1）挠度V：（2）转角（3）V与θ的关系：VV(-)(+)θ：θ“负”，反之为“正”'VdxdVtgθθPxyoxθvθPxyodxxρθdθvdsθ（5）挠曲线微分方程：)(pZEIxMx)()(1232221)(1dxdVdxVdx∵∴z22EIM(x)dxVd三、用积分法求弯曲变形：EIZ——抗弯刚度确定积分常数举例：边界条件：连续条件：0:00:0AAxVx0:00:ABVxVlx右左ccax:右左cVVaxc:CdxEIxMdxdVz)(DCxdxdxEIxMVz)(右左右左时CCCCVVlx:2/::0lxx四、弯曲刚度条件：θθffmaxmax::0lxx0AV0BV0AVEAqlaVB2解：1）外力分析：2）内力分析：(M方程)3）挠曲线方程和转角方程：),(LMR0A)(LMR0BxLMM(x)0Lx0xLMdxVdEI022zCx2LMθEI20z例一、已知EIz为常数，M0，L，求θA，θB，及中点的挠度；若，试校核刚度。zEIMLf42DCxxL6MVEI30z4）确定积分常数：0V0V0,xA0D得：0VLVL,xB6LMC0所以6LMxL2MθEI020zx6LMxL6MVEI030zZAEILM600ZBEILML305）求θA，θB。（）（）6）刚度校核：处)0(即0令θV'062020LMxLM3Lx][3920maxfEILMfZ刚度满足要求。L)21(6LML)21(6M)2LV(EI030z)(EI16LM)2LV(z20例二、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。解：1）外力分析：2）内力分析、挠曲线微分方程及其积分AB段：),(PRA)(2PRB2/0LxPxdxVdEIz22122CPxEIdxdVEIzz1136DxCPxVEIzBC段：LxL2)2(222LxPPxdxVdEIz222)2(21CLxPPxEIdxdVEIzz2233)2(3161DxCLxPPxVEIz3）边界条件和光滑连续条件求积分常数：24,022121PLCCDD1.边界条件：2.光滑连续条件：0:0AVxBBBBVVLx,:2/0:2/,BVLx2233)2(3161DxCLxPPxVEIzAB段：BC段：1136DxCPxVEIz4）求θC和VC：4）求θC和VC：)(1224)2(316|3233ZLxEIPLLPLLLPPLVZLxEIPLPLLLPPL24524)2(2|2222()xPLLxPPxVEIz24)2(3161233BC段：作业：P2356.1(b)(d)P2366.4(d)四、用叠加法求弯曲变形：1.叠加法原理（力的独立性原理）：在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、变形等)成线性关系(互不影响，各自独立)，则它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单独作用时所产生的效果之和(代数和、矢量和)：2.求梁的弯曲变形的叠加法是：分别求出各载荷单独作用时的变形(位移)，然后把各载荷在同一处引起的位移进行叠加(代数叠加)。例1.求A点的挠度:z3APEI3PLwz20AMEI2LM0wz4AqEI8qLw关键是把复杂载荷情况分解成若干个简单载荷情况(有表可查)思考题:求AB的挠曲线方程解：载荷分解如图所示z4203AqAMAPAEI24qL3LM12PL80=BC=a，求wB。awwCCBaEIqaEIqazz6834解：BC段仅有刚体位移，保持直线，如图所示)(2474zEIqa例3.试用叠加法求B截面的挠度。zBqEIaqw8)2(4)1(aYwCCBq)2(aEIqaEIqazz6834)(24414)2()1(zBqBqBEIqa解：载荷分解如图所示使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况和梁的变形形式，可采取两种处理方式：(1)载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处的总位移等于各基本载荷作用下在该处产生的位移的代数和。(2)变形叠加：将梁分解成以一定方式连接的几种受基本载荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁某处的位移。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件可以不同。逐段刚化法例4.试用叠加法(变形叠加)求C截面的挠度。解:(1)BC段变形，AC段刚化0)1(Cw(2)AC段变形，BC段刚化)(34zCPEIqaw)(440zCmEIqaw)(1274)2(0zCmCPCEIqa(3)总变形)(127421zCCCEIqa〕（〕（思考题：求wB例5、试用叠加法求C截面的挠度和转角(I2=2I1)。BaAa2EIEI1CPaABPm=0PaBAaCP解:(1)BC段变形，AC段刚化0)1(Cw(2)AC段变形，BC段刚化)(323EIPawCP)(2230EIPawCm)(6523)2(0EIPa(3)总变形0)1(C222EIPaCP220EIPaCm22)2(230EIPaCmCPC()()()(3)总变形)(652321EIPa〕（〕（22)2()1(23EIPaCCC()例6.试用叠加法求B截面的挠度(I2=2I1)。BaAa2EIEI1CPaABPm=0PaBAaCP解:(1)BC段变形，AC段刚化)(313)1(EIPawB(2)AC段变形，BC段刚化22)2(23)2(23)(6500EIPaEIPa())(3723)2()2()2(EIPaawwCCB)(231321EIPa〕（〕（例5已算出(3)总变形：例7.求fC解：)(0对称面C∵)(悬BCff)(3843)4(2331zzBEIPLEILPf2）令CD段刚化1）利用对称性简化)(5123432zMDMDBEIPLLYf3）令DB段刚化：)(1536543223zPDPDBEIPLLYf)(25633321zBBBBCEIPLfffff4）计算fC：解：1）AC段刚化mEIPLfABB331017.6313003002PACBGITLf2）AB段刚化m31005.2)(22.81022.8321mmmfffBBB例8、已知P=60kN，E=200GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。作业：P2396-10(b)P2406-11(b)P2456-21五、简单静不定梁：1.静定梁：静不定梁：多余约束：足够维持结构静平衡以外的约束。多余约束反力：多余约束提供或承受的反力。约束个数—静平衡方程个数=静不定次数2.简单静不定梁的解法：为了求得静不定梁的全部约束反力(支反力),一般在原有静平衡方程的基础上,再寻找与静不定次数相等个数的补充方程。补充方程的寻求仍必须通过两个关系：变形几何关系和物理关系。例1.求梁B处约束反力。解：1）判定静不定次数四个未知数，三个平衡方程。4--3=1（次）2）选取静定基（选定多余约束，解除多余约束。)3）建立相当系统(以多余约束反力代替多余约束)4）变形协调条件5）物理关系0Bf0BYPBBBfff)3(62aLEIPafZBPZBBEILYfBY33查表得：6）补充方程:03)3(632ZBZEILYaLEIPa)3(23322LaLaPYB7）联立求解:1）若要求MA、YA，即可把YB代入相应方程（静平衡方程）求解即可！2）求得所求的支反力后，可列M方程，画M图，进行强度和刚度的计算。注:KYBKYffBBYBPB例2.例3.匀质梁水平放置，外伸长度为a，求抬起台面的距离BC（b）。0qMBBB0246)2(32ZZEIqbEIbqaab2作业：P2516.39P2516.43P2516.40例6.图示各梁，写出确定其积分常数的边界条件和连续性条件。00CBVLaxVax：；：边界条件：连续性条件：;,右左右左：BBBBVVaxkqLkRVLxVxCCA8:;0:0右左右左：BBBBVVLx,2边界条件：连续性条件：边界条件：连续性条件：0,0;0,0AAxVx右左右左BBBBLxVVLx,2;,2边界条件：连续性条件：0,0,0;0,0CAAVLaxxVx)(,转角不连续右左BBVVax例7.要求滚轮恰恰走一水平路径，试问梁的轴线应预先弯成怎样的曲线？解：])([6)(222xLxLLEIxLxPVzCLEIxLPxz3)(22LEIxLPxyZ3)(22悬臂梁下有一刚性曲面，方程为y=ax3+bx2+c,试问梁上作用什么样的载荷，方使梁与曲面恰好叠合？（a0,b0)解：1.边界条件：0AYc=0y=ax3+bx2baxdxyd2622)(22xMdxydEIz)26()(baxEIxMz2.确定载荷EIBxyly=ax+bx+c32A例8.∴)(6zBEIP))(26(baLEIMzB)(44xqdxydEIZ0)(xq)(33xQdxydEIZaEIxQz6)()(22xMdxydEIz)26()(baxEIxMz例9.一等截面悬臂梁，固定端处与一半径为R的刚性球相切。今自由端C处作用一集中力P，若梁AB部分与刚体接触，如图所示，求C点的挠度δ？解：设CB为x，梁长为L，则1.在B点处：,1REIPxZ2.PREIxZ∵RxLB2)(2))(21)((222RxLxLRRB3.ZBBCEIPxx33)(RxLB32226)(2RPEIRLZC∴