材料力学―压杆稳定

1第九章压杆稳定本章内容:1压杆稳定的概念2两端铰支细长压杆的临界压力3其他支座条件下细长压杆的临界压力4欧拉公式的适用范围经验公式5压杆的稳定校核6提高压杆稳定性的措施7纵横弯曲的概念2§9.1压杆稳定的概念前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。本章讨论受压杆件的稳定性问题。稳定性问题的例子平衡形式突然改变丧失稳定性失稳3平衡形式突然改变丧失稳定性失稳构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。脚手架倒塌平衡的稳定性4平衡的稳定性稳定平衡不稳定平衡随遇平衡压杆的平衡稳定性当PPcr当PPcr5压杆的平衡稳定性临界压力Pcr当PPcr时，压杆的直线平衡状态是稳定的。当PPcr时，直线平衡状态转变为不稳定的，受干扰后成为微弯平衡状态。使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力，也是在微弯平衡状态下的最小压力。当PPcr当PPcr6§9.2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支杆受压力P作用考察微弯平衡状态x处截面的弯矩PvM挠曲线近似微分EIMxv22ddI为截面最小的惯性矩EIPvxv22dd方程0vEIPv7EIPvxv22dd0vEIPvEIPk2引入记号02vkv通解为kxBkxAvcossin其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。边界条件为:0x时，;0vlx时，0v,0x将0v代入通解0B,lx将0v代入通解0sinklA8边界条件为:0x时，;0vlx时，0v,0x将0v代入通解0B,lx将0v代入通解0sinklA因所以应有,0A0sinkl),2,1,0(,nnkl代入EIPk2222lEInP因为临界压力是微弯平衡状态下的最小压力，所以，应取n=1。9代入EIPk2222lEInP因为临界压力是微弯平衡状态下的最小压力，所以，应取n=1。22lEIPcr这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。欧拉公式当取n=1时，由,nkllk则，挠曲线方程为lxAvsin10当取n=1时，由,nkllk则，挠曲线方程为lxAvsin其中，A为杆中点的挠度。A的数值不确定。欧拉公式与精确解曲线精确解曲线理想受压直杆非理想受压直杆crPP152.1l3.0时，11§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力1一端固支一端自由的压杆22cr)2(lEIP2一端固支一端滑动固支（简称为两端固支）由两端铰支压杆的临界压力公式122一端固支一端滑动固支（简称为两端固支）22cr2lEIP拐点处弯矩为零。拐点3一端固支一端铰支由两端铰支压杆的临界压力公式133一端固支一端铰支22cr)7.0(lEIP4欧拉公式的普遍形式22cr)(lEIPl相当长度；长度系数。拐点由两端铰支压杆的临界压力公式14表14.1压杆的长度系数4欧拉公式的普遍形式22cr)(lEIPl相当长度；长度系数。压杆的约束条件长度系数两端铰支=1一端固支一端自由=2两端固支=1/2一端固支一端铰支0.720材料力学2020年1月19日第九章压杆稳定21§9.4欧拉公式的适用范围经验公式1临界应力临界压力临界应力将惯性矩写为22cr)(lEIPAPcrcrAlEI22)(AiI2i惯性半径AlAEi222cr)(22ilE22将惯性矩写为AiI2i惯性半径AlAEi222cr)(22ilE柔度(长细比)il柔度是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。23柔度(长细比)il柔度是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。则临界应力为22crE欧拉公式2欧拉公式的适用范围导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程要求材料满足胡克定律pcr242欧拉公式的适用范围导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程要求材料满足胡克定律pcr即：22crEpP2E记：P21E则欧拉公式成立的条件为：1可以看出：1只与材料的性质有关。25记：P21E则欧拉公式成立的条件为：1可以看出：1只与材料的性质有关。对A3钢：E=206GPa，p=200Mpa10013直线经验公式对于crp的情况，欧拉公式不成立。工程上使用经验公式。直线经验公式bacr263直线经验公式对于crp的情况，欧拉公式不成立。工程上使用经验公式。直线经验公式bacr式中,a,b是与材料有关的常数(表14.2,p162)。800.19028.7松木701.454332.2铸铁952.568461优质碳钢s=306MPa1021.12304A3钢s=235MPa1b(MPa)a(MPa)材料27直线经验公式bacr式中，a,b是与材料性质有关的常数。直线经验公式的适用范围用直线经验公式时，应有bacrsbas记：则直线经验公式的适用范围为：12bas2当2时，就发生强度失效，而不是失稳。28记：则直线经验公式的适用范围为：12bas2当2时，就发生强度失效，而不是失稳。APcrs所以应有:不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公式。可根据柔度将压杆分为三类(1)大柔度杆(细长杆)1的压杆(2)中柔度杆21的压杆4压杆分类294压杆分类不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公式。可根据柔度将压杆分为三类(1)大柔度杆(细长杆)1的压杆(2)中柔度杆21的压杆(3)小柔度杆(短粗杆)2的压杆5临界应力总图305临界应力总图大柔度杆小柔度杆中柔度杆31临界应力计算的小结对1的大柔度压杆，临界应力公式为22crE12的中柔度压杆，临界应力公式为2的小柔度压杆，临界应力公式为bacrAPcr3212的中柔度压杆，临界应力公式为2的小柔度压杆，临界应力公式为bacrAPcr6抛物线经验公式抛物线经验公式为211crba式中，a1,b1是与材料性质有关的常数。说明若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：336抛物线经验公式抛物线经验公式为211crba式中，a1,b1是与材料性质有关的常数。说明若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：进行稳定性计算时，可忽略若压杆的局部削弱，仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界应力；进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。34il•压杆柔度AIiμ的四种取值情况•临界柔度PPE2P比例极限basss屈服极限•临界应力P(大柔度杆)欧拉公式22EcrsP(中柔度杆)bacr直线公式s(小柔度杆)强度问题scr35§9.5压杆的稳定校核工作安全系数稳定安全系数稳定校核PPncrstn满足稳定性要求时，应有:PPncrstn稳定安全系数与强度安全系数的取值强度安全系数取值1.2~2.5，有时可达3.5；稳定安全系数取值2~5，有时可达8~10。36压杆稳定问题的解题步骤1稳定校核问题1)计算1，2，；2)确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度，小柔度)；3)根据杆的类型求出cr和Pcr;4)计算杆所受到的实际压力P；5)校核n=Pcr/Pnst是否成立。稳定安全系数与强度安全系数的取值强度安全系数取值1.2~2.5，有时可达3.5；稳定安全系数取值2~5，有时可达8~10。371稳定校核问题1)计算1，2，；2)确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆，小柔度杆)；3)根据杆的类型求出cr和Pcr;4)计算杆所受到的实际压力P；5)校核n=Pcr/Pnst是否成立。2确定许可载荷前3步同稳定校核问题；4)PPcr/nst。382确定许可载荷前3步同稳定校核问题；4)PPcr/nst。3截面设计问题1)计算实际压力P；2)求出Pcr：Pcr=nstP；3)先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出I,22cr)(lEIP进一步求出直径d(若为圆截面杆);4)计算1和；5)检验1是否成立。若成立，则结束;393)先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出I,进一步求出直径d(若为圆截面杆);4)计算1和；5)检验1是否成立。若成立，则结束;6)若1不成立，则设为中柔度杆，按经验公式求出直径d(若为圆截面杆);bacrilbaAPcrd7)计算2；8)检验2是否成立。若成立，则结束。406)若1不成立，则设为中柔度杆，按经验公式求出直径d(若为圆截面杆);bacrilbaAPcrd7)计算2；8)检验2是否成立。若成立，则结束。稳定性计算的折减系数法fAN这里，称为稳定系数，与材料、截面形状及柔度有关；f为强度设计值，与材料有关。按静强度设计的方法设计受压杆41例1(书例9.4)已知:空气压缩机的活塞杆由45钢制成，s=350Mpa,p=280MPa,E=210GPa。长度l=703mm,直径d=45mm。最大压力Pmax=41.6kN。稳定安全系数为nst=8~10。求：试校核其稳定性。解：1求12求P21E692102801021086活塞杆可简化为两端铰支杆1421求12求P21E692102801021086活塞杆可简化为两端铰支杆1惯性半径对圆轴AIi244164dd162d4d柔度il4/4570315.62431求12求861柔度il4/4570315.62因为1，所以不是大柔度杆。3求2采用直线经验公式。由表14.2查得(45钢属优质碳钢)：MPa,461aMPa568.2bbas2568.23504612.4312所以，是中柔度杆。443求2采用直线经验公式。bas2568.23504612.4312所以，是中柔度杆。4求临界应力采用直线经验公式。bacr5.62568.2461MPa3015求临界压力APcrcrkN4786稳定校核PPncr6.414785.11stn满足稳定要求。45例2(书例9.5)已知:活塞直径D=65mm，p=求：活塞杆直径d。解：这是截面设计问题。临界压力的最大值为pDP241N3980先假设为大柔度杆Pp1.2MPa,l=1250mm,45钢，p=220MPa,E=210GPa,nst=6。PnPstcrN23900活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力46解：这是截面设计问题。临界压力的最大值为pDP241N3980先假设为大柔度杆PpPnPstcrN23900活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力活塞杆可简化为两端铰支杆122cr)(lEIP242)(64ldEmm6.24d取mm25d47活塞杆可简化为两端铰支杆122cr)(lEIP242)(64ldEmm6.24d取mm25d根据求出的d计算柔度il4dl200计算1P21E97因为1，是大柔度杆。以上计算正确。48练习材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。49稳定设计的折减系数法按静强度设计的