第四章复变函数的级数

第四章复变函数的级数§4.1复数项级数§4.2幂级数§4.3Taylor级数§4.4Laurent级数主要内容本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.1复数列的极限2复数项级数概念§4.1复数项级数1复数列的极限称为复数列,简称(1,2,3,)nnnaibn为数列,记为.n定义4.1设是数列，是常数.naib如果e0,存在正整数N,使得当nN时,不等式ne成立,则称当n时,收敛于na,或称是的极限,记作nlim.nn复数列收敛与实数列收敛的关系.lim,limbbaannnn定理一limnn的充分必要条件是此定理说明:判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.2复数项级数的概念nnn211为无穷级数.称nnkknS211为该级数的部分和.设是复数列,则称nnnaib级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数nnn211的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,nS这时称S为级数的和,并记做1.nnS如果不收敛，则称级数发散.nS复数项级数与实数项级数收敛的关系定理二级数收敛的充要11()nnnnnaib条件是都收敛,并且11,nnnnab111.nnnnnnaib说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题lim0.nn推论如果级数收敛,则1nn非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义4.3设是复数项级数,如果正项1nn级数收敛,则称级数绝对收敛.1nn1nn绝对收敛级数的性质并且11.nnnn定理三若级数绝对收敛,则也收敛,1nn1nn收敛1nn补充因为所以22,nnnnnabab221111.nnnnkkkkkkkkkabab综上可得:因此,如果和都绝对收敛时,也1nna1nnb1nn绝对收敛.1nn绝对收敛和都绝对收敛.1nna1nnb例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.ninen)11()1innncos)2()()iiniineen2nneen2例2下列级数是否收敛?是否绝对收敛.)1(1)11ninn0!)8()2nnni121)1()3nnnin定理4.4设是收敛数列，则其有界,即n存在M0,使得(1,2,3,).nMn1幂级数的概念2收敛圆与收敛半径3收敛半径的求法§4.2幂级数4幂级数的运算和性质为复变函数项级数.121()()()()nnnfzfzfzfz)()()()(21zfzfzfzSnn为该级数的部分和.设是定义在区域D上的()(n1,2,)nfz复变函数列,称1幂级数的概念)()()()(21zfzfzfzSn称为该级数在区域D上的和函数.如果对下述极限存在0,zD00lim()(),nnSzSz则称级数在点收敛,且是级数和.1()nnfz0z0()Sz如果级数在D内处处收敛,则称其在1()nnfz区域D内收敛.此时级数的和是函数2010200()()()nnnczacczzczz20121,nnnnnczcczczcz这类函数项级数称为幂级数.当或时,110()()nnnfzczz11()nnnfzcz或的特殊情形00z函数项级数的形式为0(),nnczz定理一(Abel定理)若级数在0nnncz00z处收敛，则当时,级数绝对收敛;0nnncz0zz若级数在处发散，则当时,级数0nnncz0z0zz0nnncz发散.0z2收敛圆与收敛半径(1)对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2)对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.设时,级数收敛;时,级数发散.如图:zz由,幂级数收敛情况有三种:0nnncz定理3.6(Abel定理)若级数在0nnncz10z处收敛，则当时,级数绝对收敛;0nnncz1zz若级数在处发散，则当时,级数0nnncz2z2zz0nnncz发散.xyo..R收敛圆收敛半径幂级数0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域..11.幂级数00()nnnczz的收敛范围是因此，事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.0zz收敛半径根据前面所述的三种情形,分别,0,.R规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析.解2111(1).1nnnzSzzzzz1z1lim1nnSz级数0nnz收敛,1z0limnnz级数0nnz发散.绝对收敛,且有在内,级数1z0nnz例1求级数的收敛半径与和函数.0nnz所以收敛半径1,R11.1nnzz3收敛半径的求法(3)当时,收敛半径.1R01lim,nnncc;R(1)当时,收敛半径00;R(2)当时,收敛半径定理二(比值法)设级数如果0.nnncz则形式上可以记为1R证明：由于zzcczczcnnnnnnnn111limlim故知当时，收敛。根据上节的定理三，级数在圆内收敛。1znnnzc0nnnzc1z正项级数达朗贝尔判别法当时。1z假设在圆外有一点z0,使级数收敛。1z00nnnzc反证法在圆外再取一点z1，使，那么根据01zzAbel定理，级数必收敛。nnnzc1011z然而所以1lim11111zzczcnnnnn这与收敛相矛盾。nnnzc100nnnzc在圆外发散。1z由z0的任意性知级数(3)当时,收敛半径.1R0lim,nnnc;R(1)当时,收敛半径00;R(2)当时,收敛半径定理三(根值法)设级数如果0.nnncz则形式上可以记为1R例2求下列幂级数的收敛半径13)1nnnz（并且讨论在收敛圆周上的情形）；1)1()2nnnz(并讨论z=0,2时的情形)nnzin0)(cos)3由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个定理.定理(1)设级数和的收敛0nnnaz0nnnbz半径分别为和1R2,R则在内,12min(,)zRRR000(),nnnnnnnnnnabzazbz0110000.nnnnnnnnnnnazbzabababz4幂级数的运算和性质例3设有幂级数与0nnz)10(110azannn求的收敛半径000111nnnnnnnnnzaazaz(2)设级数的收敛半径为r.0()nnnfzaz如果在内,函数解析,并且Rz)(zg,)(rzg则当时,Rz0[()][()].nnnfgzagz前面关于级数的性质,如果将换成0nnnczz0zz之后,对于级数当然也成立.00()nnnczz说明:上述运算常应用于将函数展开成幂级数.例4把函数表示成形如bz10)(nnnazc的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.bz1)()(1abaz11.1zababa代数变形,使其分母中出现)(az凑出)(11zg把函数写成如下的形式:bz1解运行下面的MATLAB语句.symszab;f=1/(z-b);taylor(f,z,4,a)ans=1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^311.1nnzz211.1nzazazazababababa2231111()()()()zazazbbababa11().()nnzaba当即时,1,zabazaRba所以补例把函数在的范围表示成形如的幂级数。311z0nnnzc1z定理四设幂级数的收敛半径为R，那么nnnzzc)(00是收敛圆：内的解析函数。0zzR)()2zf在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即1）它的和函数f(z),即00()()nnnfzczz101()()nnnfznczz补例把函数在的范围表示成形如的幂级数。2211z0nnnzc1z3）f(z)在收敛圆内可以逐项积分，即000()(),nnnCCfzdzczzdzCzzR或100()()1znnancfdzzn§4.3泰勒级数•幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数。函数是否能够展开成幂级数。•解析能R为到D边界的最短距离0z定理(Taylor展开定理)设在区域D)(zf内解析,0z为D内的一点,,)()(00nnnzzczf0,1,2,.nD0z.R(D是全平面时,R=+),则在内可0zzR()fz展开为幂级数其中()01()!nncfzn系数cn按上述表示的幂级数称为()fz在点的Taylor级数.0zD1()()d.2Cffzizz.r0z.C.R证明对内任意一点z,0zzR存在r0,使得并且,rR0.zzr以z0为圆心,r为半径0:.Czr作正向圆周Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则由0011()()zzzz01001().()nnnzzz因为当时,C000111zzzz00,zzrz011nnzz1zDrz.0z.C.R01001()()d.2()nnnCfzziz从而实际上积分号下的级数可在C上逐项积分.010011().()nnnzzzz1()()d2Cffziz01001()()()d2()nnnCffzzziz01001()d()2()nnnCfzziz()000()().!nnnfzzzn50010!()(),(1,2,)2()nnCnffzdnizR为到D边界的最短距离0z定理(Taylor展开定理)设在区域D)(zf内解析,0z为D内的一点,,)()(00nnnzzczf0,1,2,.nD0z.R(D是全平面时,R=+),则在内可0zzR()fz展开为幂级数其中()01()!nncfzn系数cn按上述表示的幂级数称为()fz在点的Taylor级数.0z此定理给出了函数在z0点的邻域内展开成Taylor级数的公式,同时给出了展开式的收敛半径R=|z0-|,其中是离z0最近的f(z)的奇点.0z0zTaylor展开式的唯一性定理定理设()fz是D上的解析函数,