4.3 协方差和相关系数

§4.3协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系.问题:用一个怎样的数去反映这种联系.一.协方差定义与性质若X,Y独立,则根据数学期望的性质，有E(XY)=EXEY为X,Y的协方差.记为(,)()()CovXYEXEXYEY称()()EXEXYEY定义E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EXEY=0X，Y独立E{(X-EX)(Y-EY)}=0()()EXEXYEY数反映了随机变量X,Y之间的某种关系Cov(X,Y)=E(XY)-EX•EY.证明(,)()()CovXYEXEXYEY{}EXYXEYYEXEXEY()EXYEXEY若(X,Y)为离散型，11ov(,)[()][()]ijijijCXYxEXyEYp若(X,Y)为连续型，ov(,)[()][()](,)CXYxEXyEYfxydxdy(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0;(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数；(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);协方差性质(5)22121212()2(,)DCXCYCDXCDYCCCovXY性质1,44),(16)(16)(4)(YXCovYDXDWD解,1,3DYDX.22)(12),(6),(16)(8YDXYCovYXCovXD)42,134(),(YXYXCovWVCov,33),(24)(9)(16)(YXCovYDXDVD例１:设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差定义:当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？性质2“X与Y独立”“X与Y不相关”,反之未必成立.例２设(X,Y)在D={(x,y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。性质3X与Y为随机变量,则下列结果等价(1)X,Y不相关;(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=EXEY;(4)D(X+Y)=DX+DY.二.相关系数(*)1.定义若随机变量X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则DYDXYXCovXY),(注1：若记*()XEXXDX称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且).(),(****YXEYXCovXY称为X与Y的相关系数.无量纲的量注20XYX,Y不相关(,)0CovXY)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关注32.相关系数的性质定理在以上假设条件下，有(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数othersDyxyxf0),(2),(解D1x=y1002()23xEXxdydx120041()2918xDXxdydx例41001()23xEYydydx1001()24xEXYxydydx1(,)()()()36CovXYEXYEXEY120011()2918xDYydydx(,)12()()XYCOVXYDXDYXYXYXYUXXYUX求）求,),1,1(~2,),1,0(~)122以上的结果说明了什么？解1)454)(,121)(,41)(,31)(,21)(YDXDXYEYEXE968.0454121121XY2)0)(,0)(XYEXE0XY例60.968XY:有96.8%的线性相似度，即在[0,1]之间，y=x2与某条直线y=ax+b的图像差别不大。0XY:根本就没有线性相关性，但有其他相关性。)(kXE——X的k阶原点矩)|(|kXE——X的k阶绝对原点矩)))(((kXEXE——X的k阶中心矩)()))(((2XDXEXE——X的方差三.矩)(lkYXE——X,Y的k+l阶混合原点矩()()klEXEXYEY——X,Y的k+l阶混合中心矩)(XYE——X,Y的二阶原点矩()()EXEXYEY—X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差()()()()XYXEXYEYEDXDY——X,Y的相关系数例5设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解,4)()(,1)()(YDXDYEXE1/2,cov(,)2XYXY6),cov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYDXDYXDZD3/123/2.XZ四.协方差矩阵定义设X1，…,Xn为n个随机变量,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机向量(X1，…,Xn)T的协方差矩阵C。即nnnnnnnnijccccccccccC.....................)(212222111211