三重积分定义计算_6047_1628_20110330093448

1三重积分的概念与计算方法一、三重积分的定义二、三重积分的计算三、小结2dvzyxf),,(.叫做体积元素其中dv,的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果.lkjizyxv则三重积分记为dxdydzzyxf),,(..积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz一、三重积分的定义iiiniivf),,(lim103物理意义：设f(x,y,z)表示物体在点（x,y,z)处的体密度，是该物体所占有的空间闭区域，f(x,y,z)在上连续，则该物体的质量.),,(dVzyxfM4直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算5x0zyz2(x,y)为图示曲顶柱体I=),(),(d),,(yxzyxzzzyxfDyxddPNM..积分区域是曲顶柱体Dz1(x,y)计算三重积分zyxzyxfIddd),,(6x0zyz2(x,y)I=D积分区域是曲顶柱体为图示曲顶柱体这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z1(x,y)计算三重积分.zyxzyxfIddd),,(),(),(d),,(yxzyxzzzyxfDyxdd7上边界曲面（上顶）xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzz),(yxdvzyxf),,(.]),,([),(),(21xyDyxzyxzddzzyxf下边界曲面（下底）xoy坐标面上的投影区域8z=0y=0x=00yx：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所围成的区域先画图x0zy1121Dxy是曲顶柱体Dxy:x=0,y=0,x+2y=1围成：上顶yxz21：下底12121010d)21(dxyyxxx481...例1：计算三重积分x+2y+z=1DxyzyxxIdddyxDzxyxxy210dddI=0z90yx2xy1.确定投影区域，找出上顶、下底2.画出投影区域图不画立体图做三重积分Dxy:xz2z=0xπDzz,y,xfyxIxy20)d(ddxπxπzzyxfyx20020d),,(dd围成x,y,xy。。Dxy。是曲顶柱体：上顶：下底所围成的区域。与平面抛物柱面πzx,z,yxy200:Ω例2.？zyxz,y,xfIddd)(Ω计算10y2=xxyzo.所围成的区域。与平面抛物柱面πzx,z,yxy200:Ω例2.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算11zx222y2=xxyzo.所围成的区域。与平面抛物柱面πzx,z,yxy200:Ω例2.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算12z=0y=022xyzozzyxfyxIxπxπd),,(dd20020。。Dxπzz,y,xfyxI20)d(dd0yx2xyy2=x.所围成的区域。与平面抛物柱面πzx,z,yxy200:ΩD例2.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算13所围成的区域与:z,yxxyzDxy:xyz围成yx,y,xz=00yx11xyDzz,y,xfyxIxy0)d(ddxyxzzyxfyx01010d),,(dd。。Dxy：上顶：下底是曲顶柱体例3.双曲抛物面zyxz,y,xfIddd)(Ω计算141x+y=1yozx1z=xy.所围成的区域与:z,yxxyz例3.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算15z=01x+y=1ozx1yz=xy.所围成的区域与:z,yxxyz例3.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算1611z=0ozxx+y=1yDxyzz,y,xfyxI0)d(dd。zz,y,xfyxxyxd)(dd01010。z=xy.所围成的区域与:z,yxxyz例3.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算17x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法先做二重积分，后做定积分18x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2.先做二重积分，后做定积分zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法19x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2I=21dcczzDyxx,y,zfd)d(.先做二重积分，后做定积分zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法20x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2.先做二重积分，后做定积分I=21dcczzDyxx,y,zfd)d(计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法21zyxzIdddΩ2所围成的闭区域是由其中1Ω222222czbyaxx0yzbc例4计算aD02222221)(Ωczbyax,czc|z,y,x22cczzd2zDyxddzyxzIdddΩ2Dz所围成的闭区域是由其中1Ω222222czbyax..bczyxzIdddΩ2cczzczabπd)1(222.3154abcπ=.x0yzD0a1)1()1(22222222czbyczax.2222221)(Ωczbyax,czc|z,y,xz例4计算23作业习题9-3(400页)1.(2)(4)2(1)(3)(5)(8)(10).4.6.7.240xzyM(r,,z)zrNcosrxxyzsinry(x,y,z)(r,,z)2.利用柱面坐标计算三重积分z=z..25z动点M(r,,z)柱面Sr=常数：平面z=常数：x0yzMrSz柱面坐标的坐标面26动点M(r,,z)半平面P柱面S=常数:r=常数：平面z=常数：zx0yzMrSP柱面坐标的坐标面.27xzy0rdz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素28xzy0rdz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz平面z+dz柱面坐标下的体积元素.29xzy0rdz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz),sin,cos(zrrfzθrrdddzyxddddV=zrrddd.柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd),,(dV30zyxyxIddd11Ω22所围锥面,zzyx:0xzy1DxyzyxyxIDxd11dd1y222210220rd11drrr)222(ln.Dxy:22yxz122yxz=11.：下底：上顶例1...Dyxyxyxdd11222231例2计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面,2z8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转面方程为,222zyx所围成的立体如图，32,82:z所围成立体的投影区域如图，1D,222zyxdxdydzyxI)(2282dzzDyxxd)dy(222020282zrdrrddz336330xzyxyzM(r,,)rNyxz.cossinrsinsinrcosr..3.利用球面坐标计算三重积分34SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)球面坐标的坐标面35球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.36rdxzy0圆锥面圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d37rdxzy0,sinsin,cossin(rrf元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素.半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dzyxzyxfddd),,(r2sindrddsindrddr2rcos)dVdV=38rR对r:从0R积分,得半径任取球体内一点.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω2222例3zyxzyxfIddd),,(求0xzy390xzyMrR对:从0积分，.zyxzyxfIddd),,(求2π.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω2222对r:从0R积分,得半径任取球体内一点例340R对:从0积分，扫遍球体.zyxzyxfIddd),,(求2π得锥面.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω22220xzy对r:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，2π例3410xzyR.0I=V当f=1,.zyxzyxfIddd),,(求rφrφrθφrθφrfφθIRππdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω2222r:0R:02π:02π例342球坐标系下确定积分限练习1为全球体2为空心球体3为上半球体4为右半球体5为球体的第一、二卦限部分rφrfφθIRππdsindd02020为洞添加RzyxrφrfφθIRRππdsindd22020rφrfφθIRππdsindd022020rφrfφθIRππdsindd0200rφrfφθIRππdsindd02200.....Rzyx.zyxzyxfIddd),,(求43计算已知)(.zyx,aazyx:z0xya化为球系下的方程r=2acos4πφ.M.:2040πφrM例4zyxzyxfIddd),,(rφrφrθφrθφrfφθIφsaππdsin)cos,sinsin,cossin(ddco2024020cos20ar44补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.奇偶性．45例5利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz46解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx