动态几何解题分析示例与思考策略

动态几何问题思考策略与解题方法“动”变“静”，“难”变“易”重庆市渝中区第57中刘晓丰关于对动态几何问题的理解以运动的观点探究几何图形部分变化规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形的形状等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.一、动态几何问题涉及的常见情况1、点动（有单动点型、多动点型）2、线动（主要有线平移型、旋转型）线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题常通过转化成点动型问题求解3、形动按运动对象分类：按运动形式分类：平移旋转翻折滚动问题设计的背景看主要有位置约束型:它一般以简单图形为背景，探索研究因动点引起相关数量（或位置）的变化.时间关系型:这类问题就提出的问题来说，有线段、角以及面积等数量问题；形状位置问题，以及函数（包括直角坐标系）问题动态几何问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下八点:2、把握运动变化的形式及过程；3、思考运动初始状态时几何元素的数量和关系；4、“动”中取“静”5、找等量关系6、列方程7、是否分类讨论8、确定变化分界点（重难点）（重难点）（重难点）思考策略与解题方法1、读一问，做一问；要善于在“动”中取“静”，在图形和各个几何量都“静”下来的状态下，以变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，用含有变量的代数式表示相关的几何量;（重难点）“动”中取“静”（重难点）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（2）何时∆PBQ是直角三角形？APBQCM图1要善于在“动”中取“静”，在图形和各个几何量都“静”下来的状态下，以变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，用含有变量的代数式表示相关的几何量;常利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形的几何性质等，寻找基本的等量关系式;找等量关系APBQCM图1列方程将含有变量的代数式和相关的常量代入等量关系式建立方程或函数模型；某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型.在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解.将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决.是否分类讨论（重难点）确定变化分界点若需分类讨论，常以运动过程中一些特殊位置的点为分界点，并画出与之对应情况相吻合的“静态”图形，根据情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解.选送考试26题2、把握运动变化的形式及过程；3、思考运动初始状态时几何元素的数量和关系；4、“动”中取“静”5、找等量关系6、列方程7、是否分类讨论8、确定变化分界点思考策略与解题方法1、读一问，做一问；读动静找列分讨思三、典型例题如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；(2)(3)(2)设平移D2D1距离为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原△ABC面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.图3CBDA图1C2D2C1BD1A图2PEFAD1BD2C1C214读如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；(2)(3图3CBDA图1C2D2C1BD1A图2PEFAD1BD2C1C2把握运动变化的形式及过程这是一个图形的平移运动思考运动初始状态时几何元素的数量和关系因为在中，AC=8,BC=6，则由勾股定理，得AB=10.因为，CD是斜边上的中线，所以DC=DA=DB,即C1D1=C2D2=BD2=AD1∠C1=∠A，∠C2=∠B,∠C1+∠C2=900.RtABC90ACBC2D2C1BD1A图2CBDA图1“动”中取“静”，让图形和各个几何量都“静”下来.下结论:因为是平移，所以，∠C1=∠AFD2，∠C1=∠A,∠AFD2=∠A，所以AD2=D2F.同理：BD1=D1E.又因为AD2=BD1,所以AD2=AD1-D1D2,,BD1=BD2-D1D2,,所以D1E=D2F1122CDCD∥图3PEFAD1BD2C1C2D1E=D2F猜想图中的D1E与D2F的数量关系如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1）(2)设平移D2D1距离为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；图3CBDA图1C2D2C1BD1A图2PEFAD1BD2C1C2读（1）第2问是求变量之间的关系，则建立函数模型.（2）按题目指定的运动路径运动一遍，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨论解决.2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx（3）找等量关系式：用面积割补法图3PEFAD1BD2C1C2x△BC2D2的面积等于△ABC面积的一半，等于12.为便于求三角形的面积,选择△BD1E的的底为BD1，需求边BD1上的高和Rt△C2OF的两直角边.（4）“动”中取“静”:我们视自变量x为“不变量”，以D1D2=x为“向导”,用含有自变量x的代数式表示两三角形的底和高.2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx图3PEFAD1BD2C1C2xC2D2C1BD1A图2“动”中取“静”求△BD1E的的底为BD1和边BD1上的高因为D2D1=x，所以D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，由C1D1∥C2D2得△BC2D2∽△BED1，又△ABC的边AB上的高是.设△BED1的边BD1上的高为h，所以,所以24552455hx24(5)25xh121112(5)225BEDSBDhx图3PEFAD1BD2C1C2x“动”中取“静”又C2F=x，∠C1+∠C2=900，所以∠FPC2=900.在Rt△EFG中，∠C2=∠B.所以，而所以43sin,cos55BB234,55PCxPFx22216225FCPSPCPFx2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx21824(05)255yxxx图3CBDA图1C2D2C1BD1A图2PEFAD1BD2C1C2x“动”中取“静”求△FPC2的底和高.图3CBDA图1C2D2C1BD1A图2PEFAD1BD2C1C2x方法二：相似三角形的面积比如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1）(2)(3)对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原△ABC面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.14图3CBDA图1C2D2C1BD1A图2PEFAD1BD2C1C2读21824(05)255yxxx第3问是求特殊值问题，则建立方程模型求解存在,当时，即整理得，3x2-20x+25=0.解得.即当或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的.14ABCyS218246255xx125,53xx53x14图3PEFAD1BD2C1C2如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC.（2）(3)（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16）读如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC?（2）(3)把握运动变化的形式及过程x这是△EFG的平移+点P的运动.思考运动初始状态时几何元素的数量和关系（1）注意参考数据运用于计算平方、平方根或估算.（2）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴，．∴FG＝＝3cm．Rt△EGF中BCFGACEG684FG864522FGEGEF第1问是求当x为何值时，有特殊位置关系OP∥AC，则建立方程模型求解.“动”中取“静”：让图形和各个几何量都在特殊位置（OP∥AC）“静”下来.21∵O是△EFG斜边上的中点．∴当P为FG的中点时，OP∥EG，又EG∥AC∴OP∥AC．，∴x＝FG=×3＝1.5（s）．21∴当x为1.5s时，OP∥AC．XX如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上