动态几何问题(课件)

商水一中数学教研组图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本的条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件下为定量时，进行相关的几何计算、证明或判断。．，在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学思想进行解答。．，1、动点与最值问题相结合2、动点与列函数关系式相结合3、动点与坐标几何题相结合4、动点与分类讨论相结合一、动点型一、动点与最值问题相结合_______0,90,2061的最小值是则上一动点，是边的中点，是边中，如图，在河南中考题例EDECABEBCDACBBCACABCADCBEADBCEF类似的试题有：————的最小值是则的中点，，分别是边动点，点上的一个是对角线，点和分别长的两条对角线如图，菱形荆门PNPMBCABNMACPABCD,86081AMNDPBCN’周长是的，则的最小值为的中点，若分别是上一个动点，是底边点，中，如图，在等腰黄石ABCPNPMBCABNMACPABCABC2,,120082032324A.2C.4B.D.ANMBPC此时其最小值一定等于的值最小，，使上找一点中点，在是上，在点，如图，已知梯形呼和浩特MNEMMACABECNBCNBCDCADBCADABCD,2,8,4,//08.3A.6B.8C.4D.10BMNADCE（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．（4）（北京06中考题）已知抛物线与y轴交于点，与轴分别交于，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；2yaxbxc(03)A，(10)B，(50)C，AＢＣPQ例2：（07河北中考题)已知：如图：△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，CB=4cm，两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动，当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止，点P、Q的运动速度分别为1cm/s、2cm/s。设点P运动时间为t(s)二、动点与列函数关系式相结合(2).当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。(1).当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²；解：（1）CQPCSPCQ212,121tttt2321解得23tt2221cmSsstPCQ时，或为当时间(1)当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²；AＢＣPQ解：（2）(2).当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；②当2＜t≤3时①当0＜t≤2时③当3＜t≤4.5时4923322ttts2039495465185422tts41529535425275322ttts解：（3）有AＢＣPQ②在2＜t≤3时①在0＜t≤2时③在3＜t≤4.5时49,,231sst有最大值当51232sst有最大值，，当415293sst有最大值，，当（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。所以S有最大值是415技巧点拨:由几何条件确定函数关系式，关键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。直接确定其思维过程为：①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近”哪个点（数）？能否等于这个数？②在变化过程中有无特殊点（数）③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是今后发展的命题趋势。(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长；(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式；(3)当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？类似的试题有：(06吉林省中考题)A、B是直线l上的两点，AB=4厘米。过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米。动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动。设P、Q运动的时间为t(秒)，当t＞2时，PA交CD于E。．OABCAB，(40)(43)，，，MN，OB，MOAANBCCNNPBCACPMPt如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从点同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，作，交于点，连结，当两动点秒时．过点运动了Pt（1）点的坐标为（，）（用含的代数式表示）．MPA△SSt(04)t（2）记的面积为，求与的函数关系式．tS（3）当秒时，有最大值，最大值是．QySQAN△AQ（4）若点在轴上，当有最大值且为等腰三角形时，求直线的解析式．OMxyCNP三、动点与坐标几何题相结合ABEF．解：（1）344tt，MPA△4MAtMA34t13(4)24MPASStt△233(04)82Sttt（2）在中，，边上的高为．即．OMxyCNP(43)B，(40)A，（3）322，．EF．．(43)B，(40)A，．S2tNBC(0)Qy，222224AQOAOQyyCOMNxQ222222(3)QNCNCQy2222232ANABBNQAN△解：由（3）知，当有最大值时，，此时（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．的中点处，如下图,设则，.为等腰三角形，AQAN2222432y①若，则，此时方程无解．AQQN222242(3)yy12y②若，即，解得．QNAN22222(3)32y1206yy，11(0)2Q，-2(00)Q，3(06)Q，③若，即，解得．，．在．．．Q1(0)2，AQ12ykx(40)A，114028kk，当为时，设直线的解析式为，将代入得．AQ1182yx直线的解析式为Q(00)，(40)A，(00)Q，xAQ0yx当为时，，均在轴上，直线的解析式为（或直线为轴）．(06)，QNA，，ANQ△AQ1182yx0y在同一直线上，不存在，舍去．故直线的解析式为，或．当为Q时，AA1.如图3，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O﹙A与O点重合﹚，假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是．类似的试题有：例4.（06衡阳市中考题）已知，如图，在直角坐标系中，矩形的对角线所在直线解析式为：x（1）在x轴上存在这样的点M，使△MAB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段上OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P,Q移动的时间为t秒．①是否存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；②设△BPQ的面积为s，求s与t间的函数关系式，并求出t为何值时，s有最小值．yCAxBO313yx四、动点与分类讨论相结合3M1M2M3M5M4（1）易知(01)A，(30)C，(31)B，①AB为底边，则13(0)2M，②AB为腰且MAAB时，由题意可知2232AMABOM，③AB为腰且MBAB时，由题意可知4432OMOCCM4(320)M，，由对称性知5(30)M+2，yCAxBOtOPQ△BCP△（2）①假设存在这样的时刻，使与相似．333CPtOQtOPt，，OQOPBCCPOQOPCPBC由或得3313ttt3313ttt或．210tt32t152t23t01t≤≤152t23tOPQ△BCP△即或．解得或．又，当或时，与相似．yCAxBOPQ（2）、①是否存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；ABQOPQBCPOABCSSSSS矩形△△△3113(1)(33)3222tttt2233133(1)()2228ttt12tS338②当时，面积有最小值，．最小值是yCAxBOPQ（2）、②设△BPQ的面积为s，求s与t间的函数关系式，并求出t为何值时，s有最小值．1、如图，已知正三角形ABC的高为9厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而停止.（1）当r=9厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC三边有几个切点？当r=9厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC三边有三个切点.ABC类似的题有：（2）当r=2厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC三边有几个切点？当r=2厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC三边有六个切点.ABC当r9厘米时,没有切点;当r=9厘米时,有3个切点;当0r9厘米时,有6个切点.（3）猜想不同情况下,r的取值范围及相应的切点个数;2.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．（1）如果，求点P运动的时间；（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA，那么当P点运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．2πcm/s90POAＡＰＢＯ解（1）当时，点P运动的路程为⊙O周长的或．设点运动的时间为．当点P运动的路程为周长的时，90POAＡＰＢＯ90POA∠⊙O⊙O1434st14122412t3tP34解得当点运动的路程为周长的时，122432t解得9t．P3s9s当时，点运动的时间为或．⊙OP连接OP、PA．当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为．2sBPBAPO（2）如图，当点运动的时间为时，直线与相切．理由如下：4cmcmo24的周长为圆61周长的的长为圆OAP060POA︵，是等边三角形OAPOAOP,060,OAPAPOAOPABAPOAAB,030BAPBBAPBOAP090APBOPAOPB相切。与圆直线OBPBPOP．，这类试题的分类讨论有固定的模式，它要求学生通过观察、比较、分析图形的变化，揭示图形之间的内在联系，要能够根据条件作出或画出图形，从而进行分类。．，1、线平移型2、线旋转型二、动线型．，1.线平移型.,1,600,407的上方）在点（点的两边分别交于点与菱形的速度运动，设直线个单位长度轴正方向以每秒轴出发，沿从轴的直线垂直于，的坐标为为菱形，点系中，四边形如图，在平面直角坐标中考题锦州市NMNMOABClxylxAOCCOABCNMOCAyxB（1）求A、B两点的坐标。（2）设OMN的面积为S，直线l运动的时间为t秒（0≤t≤4），试求S与t的函数表达式。△FL．，OBMy