第2章-2 结构地震反应与抗震计算-多自由度

2.2多自由度弹性体系地震反应结构抗震计算的特点1结构振动的概念和运动方程2自由振动－固有频率和振型4强迫振动－振型分解法5抗震(强迫振动)－振型分解反应谱法地震作用(随机激励)下的多自由度体系的振动.振型分解法：求解多自由度体系的强迫振动反应谱法：求解最大地震作用效应的方法特点:随机振动＋获得最大地震响应2.2节内容提要1、多自由度体系的运动方程(2-53)2、自由振动方程-固有频率和振型(2-61,62)3、振型的正交性(2-74,75理论问题)4、振型分解法—强迫振动求解方法(P.39,2-84)5、振型分解反应谱法(P.44)6、地震作用效应地震作用效应=振型分解法+反应谱法+平方和开平方ii+1m1m2mimn多层、高层结构的动力计算简图把结构转化成一个多自由度体系楼板上下各取层高的一半，这个范围内的全部质量集中到该层对应的质点上。该层以下的全部抗侧力构件的刚度累加作为多质点体系的刚度。ik多自由度体系的振动把结构简化为无质量杆件连接到集中质量通常每层简化为一个位于楼板处的质点。1、11.61810.618结构动力学中的几个基本概念自由振动：在不受外界作用而阻尼又可忽略的情况下结构体系所进行的振动。固有周期：结构按某一振型完成一次自由振动所需时间。（1）固有频率：无外力时，结构体系每秒振动的次数。（2）基本周期：结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。又称第一固有周期。振型：结构按某一固有周期振动时的变形模式。（1）基本振型：多自由度体系和连续体自由振动时，最小自振频率所对应的振动变形模式，又称第一振型。（2）高阶振型：多自由度体系和连续体自由振动时，对应于二阶频率以上（含二阶）的振动变形模式。共振：当干扰频率与结构某自振频率接近时，振幅急剧增大的现象。多自由度体系振动规律要点n个自由度的体系有n个固有周期(频率)每个周期对应一个振型。最大的一个固有周期称为基本周期，对应的振型称为基本振型。基本振型总是与体系的最简单变形形式相近，这种变形形式对应体系较小的势能。任何复杂的振动都是各种振型的线性迭加。振型反应了结构振动在空间的变化形式。对应不同固有周期的振型是正交的。体系按一个振型振动时，结构的曲线形式不变。各点的振动大小不同，但保持相同的比例。2.2.1.1运动方程任何多自由度系统在地震作用下的振动方程均可以写成如下形式的常微分方程组：)532()(][)}(]{[)}(]{[)}(]{[txMtxKtxCtxMg1][C][M][K复习：设刚度矩阵中的元素为kij。它的物理意义是所以质点保持不动，仅仅质点j处产生的单位位移，所引起的在质点i处引起的弹性反力。2自由振动以上方程是二阶常系数非齐次线性常微分方程组。其解为通解加特解。对于这组方程，我们最关心的通常不仅是它的特解，同时也关系它的齐次解。方程的齐次解对应结构的自由振动。所谓自由振动所描述的是在一定的初始激励下(初始速度或初始位移)，系统开始振动。在振动过程中系统上不再有其它的外部激励。此时，结构的振动将完全取决于其本身的特性。研究表明阻尼对结构自由振动的频率影响不大，所以在考虑自由振动时，通常忽略阻尼的影响。0)}(]{[)}(]{[)}(]{[)532()(][)}(]{[)}(]{[)}(]{[txKtxCtxMtxMtxKtxCtxMg12.2.1.2多自由度体系的动力特性无阻尼自由振动方程)494(0)}(]{[)}(]{[txKtxM为使它有非零解得到频率方程：(教材中称为特征方程))622(0][][2MKXXXXXX动力特性方程(振型方程))602(0)}(]{[)}(]{[txKtxM021TnxxxX频率方程)602(0)}(]{[)}(]{[txKtxM为柔度矩阵其中：柔度表达：，刚度表达：122][][1)554(0][]][[)574()534(0][][KIMMK两个自由度体系自振频率计算例题2.-4两个自由度体系(P.38)mmKKKK002MK计算固有周期注意：只有1~3个自由度的问题，可以用代数方法得到固有频率。一般只能用数值方法计算。求振型线性代数中有常规方法从特征值获得特征向量MATLAB可以很方便地计算任何矩阵的特征值和特征向量[V,D]=eig(A,‘nobalance’);%求A的特征值和特征向量频率方程—广义特征值问题频率方程是一个代数方程（用行列式表达）该方程中唯一的一个未知数是园频率ω。频率方程是ω2的n次代数方程。于是根据代数基本定理，它必然有n个根。于是我们将得到n个ω2。进而得到n个ωj(因物理意义上不符合需要而不考虑负频率)。这些圆频率ωj称为结构的固有频率。得到它们的过程中表明：它们是在没有右端项时(无外部激励)，结构发生振动(非静止)时可能的振动频率。通常把这些固有频率从小到大依次排列。第一阶固有频率也称为基本频率。基本频率所对应的周期称为基本周期(最大)。实际工作中，只要方程建立起来了，可以用现成的程序立即得到各阶固有频率（固有周期）。)622(0][][2MK3.振型—特征向量把求得的每一个固有频率ωj代入到动力特性方程)612(0}]){[]([2XMK此时方程的系数矩阵为零，所以有无穷多组解。这些解之间是线性相关的。它们之间有确定的关系：假设Xj为对应第j个频率的解，那么对于任何实数，也是方程的解：jX}{0)632(0}{])[]([2jjXMK看来幅值的绝对大小是不重要的，也是没有意义的。有意义的仅仅是各元素的相对大小。我们通常把的所有元素除以一个特定的值，以便使得振型中元素的值比较简单不至于过大或过小。这样做并不会影响振型向量中各元素值的比例。称为振型的归一化jX}{mllmmlyyxxyxnn0mllmmllmmllmmlyyxxyx0mllmmlyyxxyx0主应力：剪应力为零mlmlyyxxyxnnyxxyxyxynabcxpyp0mlyyxxyx0yyxxyx0)(22xyyxyx222,122xyyxyx从上式可以根据应力分量求出主应力主应力是应力张量矩阵的特征值，主方向是特征向量特征值的定义mlmlyyxxyx2222211111mlmlmlmlyyxxyxyyxxyx求解振型的例题上式中的行列式就是(4-53)在本问题中的具体形式振型几个特殊的问题1、振型的归一化，与唯一性(P.44)2、振型的加权正交性(P.47)3、阻尼矩阵的处理(瑞利阻尼P.49)4、振型阻尼比及相关问题(每一个振型都有一个阻尼比，但实际上不这样考虑)振型的归一化－三种方法(P.36)一、让第i阶振型的第i个元素为1(除以对角元)采用这种归一化以后，振型矩阵的对角元为1。1}X]{[}X{iTiM四、令：也就是把各元素除以：此时：理论研究中通常采用这种方法。}X{j}]{[}{iTiXMX2}]{[}{iTiXKX二、令一个振型列向量的所有元素中最大元为1(除以最大元)；采用这种归一化以后，其最大的元素，设其为第j个元素，这样一来，其第j个元素为1，其它元素小于1。三、令各振型的第一个(最后一个)元素为1，其它元素均除以该元素。(教材用采用这种方法)。瑞利阻尼—[C]与[M],[K]的关系为了处理方便而进行的假设关系。(2-57)(2-58)瑞利阻尼系数关于振型的正交性TnXXXXatXtx],,[}{)602()sin(}{)}({212)752(,0}]{[}{)742(,0}]{[}{nmXKXnmXMXnTmnTm主振型的(加权)正交性(教材的证明振型很标准并且正确)以上两者是振型关于质量和刚度矩阵的正交性(加权正交)其物理意义是:k振型的能量不会相j振型转移(P.75))602(0)}(]{[)}(]{[txKtxM各阶圆频率与振型的关系iiTiiiTiKXKXMXMX}]{[}{)792(,}]{[}{）（802}]{[}{}]{[}{0}]){[]([}{)632(0}]){[]([2222iiiiiiiTiiiTiiiTiiiMKMKXMXXKXXMKXXMK右端为一个标量(定义)与单自由度比较自振频率和振型实用计算方法以下方法只需要了解就可以，有专门的程序可用矩阵迭代法：可以求出任何一阶振型能量法（瑞利法）用于计算第一阶振型等效质量法：系统的频率保持不变的提前下全部质量集中到一个质点上。规范中的公式法(计算基本周期)：dHT/0011.045.02烟囱：关于振型的要点一般凡提到振型都是指在归一化以后的那一个。每个频率对应一个振型。有多少个自由度就有多少个频率/振型。不同频率对应的振型是加权正交的。按一个振型振动时，结构的曲线形式保持不变。各点的振动虽然大小不同，但保持相同的比例。基本振型总是与体系的最简单变形形式相近，这种变形形式对应体系较小的势能。任何复杂的振动都是各种振型的迭加。振型反应了结构振动在空间的变化形式。注意：本教材中总是以i代表质点，以j代表振型。各质点的坐标向量按振型展开把各质点的坐标向量按振型展开：)832()(}{)()(}{)(}{)(}{)(}{}{}{}{][)()()822()(][)(1221121212121tqXtxtqXtqXtqXtxXXXXXXXXqqqtqxxxtxwheretqXtxniiinnTniiiinTnTn上式利用定理：任何向量都可以写成特征向量的线性组合。称为正则坐标或模态坐标或广义坐标，它是时间的函数。第i阶振型(与时间无关)按阶振型展开4振型分解法P.39把各质点的坐标向量按振型展开：(2-82)代入方程，利用振型的正交性和解耦变换得到：)892(),,2,1(}]{[}{][}{njXMXMXjTjTjj1注意：这是一组单自由度振动方程。每一个可以独立求解。以上步骤称为振型分解法。求解广义坐标后代入到(2-82)可得到任何时刻结构响应(通常在理论分析中使用)。其中振型参与系数为：)882(,,2,1)()(2)(2njxtqtqtqgjjjjjjj)812()(][)}(]{[)}(]{[)}(]{[txMtxKtxCtxMg1)822()(][)}({tqXtx第j阶振型的阻尼比理论上可以通过实验确定。实际可以均取0.05称为正则坐标或模态坐标或广义坐标，它是时间的函数。关于振型参与系数以上结论说明，如果设各质点的位移等于1，则第j振型的振型参与系数就等于其模态坐标njjjjjjTjTjjiandxjjTjjjiforMniiiTjTjTjniiixforqnamelyMMqMqqMMMxqxiTj1}1{}{0}]{[}{11}{}1{}1{}{}]{[}{}1]{[}{}]{[