频率域滤波

第四章频率域图像增强傅立叶变换和频率域介绍平滑的频率域滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式。复杂函数可以用由简单的正弦和余弦函数表示。01()(cossin)2kkkafxakxbkx4.1背景知识01()1()cos1()sinkkafxdxafxkxdxbfxkxdx系数：2在周期内：傅立叶变换：甚至非周期函数（曲线是有限的情况下）也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分表示。用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅立叶反变换重建，不丢失任何信息。4.2.1一维傅立叶变换及其反变换单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)定义为：4.2傅立叶变换和频率域的介绍2()()juxFufxedx2()()juxfxFuedu2()(,)(,)juxuyFuvfxyedxdy2()(,)(,)juxuyfxyFuvedudv离散形式的傅立叶变换：4.2傅立叶变换和频率域的介绍12/()()0,1,2,...,1MjuxMufxFuexM12/01()()0,1,2,...,1MjuxMxFufxeuMM4.2傅立叶变换和频率域的介绍cossinjej101()()[cos2/sin2/]MxFufxuxMjuxMM0,1,2,...,1uM因此傅立叶变换的每一项[即对于每个u值,F(u)的值]由f(x)函数所有值的和组成.f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域（u的值）称为频率域，因为u决定了变换的频率成分.F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。傅立叶变换可看成“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分.使我们能够通过频率成分来分析一个函数。用极坐标表示F(u)比较方便：4.2傅立叶变换和频率域的介绍()()|()|juFuFue22222|()|()()()arctan()()|()|()()FuRuIuIuuRuPuFuRuIu其中频率谱()=相角(相位谱)功率谱R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部4.2傅立叶变换和频率域的介绍在离散傅立叶变换中,函数f(x)中x的取值不一定是[0,M-1]中的整数值,而是任意选取的等间隔点.0()()fxfxxx()()FuFuu1uMxu总是从0频率开始ux且和之间满足如下关系：4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维DFT及其反变换112(//)001(,)(,)0,1,...1;0,1,...,1MNjuxMvyNxyFuvfxyeMNuMvN112(//)00(,)(,)0,1,...,1;0,1,...,1MNjuxMvyNuvfxyFuvexMyN反变换：M×N的函数f(x,y)的DFT:4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维变换的傅立叶谱、相角、频率谱22222|(,)|(,)(,)(,)(,)arctan(,)(,)|(,)|(,)(,)FuvRxyIxyIuvuvRuvPuvFuvRuvIuv11001(0,0)(,)MNxyFfxyMN为f(x,y)的平均值,即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级.当u=0,v=0时11uvMxMy空间域和频率域抽样点之间的关系如下所示：112(//)001(,)(,)0,1,...1;0,1,...,1MNjuxMvyNxyFuvfxyeMNuMvN4.2傅立叶变换和频率域的介绍通常在进行傅立叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数将傅立叶变换的原点(即F(0,0))被设置在u=M/2,v=N/2上,该点为二维DFT设置的M×N区域的中心[(,)(1)](/2,/2)xyfxyFuMvN为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。当在计算机中使用傅立叶变换时，总和的范围为u从1到M,v从1到N。实际的变换中心将为u=(M/2)+1和v=(N/2)+1.4.2傅立叶变换和频率域的介绍xyuv4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：平移00002(//)002(//)00(,)(,)(,)(,)juxMvyNjuxMvyNfxyeFuuvvfxxyyFuve00002(//)()/2,/2(1)juxMvyNjxyxyuMvNee当时，有：()(,)(1)(/2,/2)(/2,/2)(,)(1)xyuvfxyFuMvNfxMyNFuv因此可以得到：可以用于中心化变换,u和v的范围分别为[0,M-1]和[0,N-1],变换后的中心变为u=(M/2)+1,u=(N/2)+14.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：分配性和比例变换性12121212[(,)(,)][(,)][(,)][(,)(,)][(,)][(,)]fxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxy且通常有:(,)(,)1(,)(/,/)||afxyaFuvfaxbyFuavbab傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：对于比例因子a和b，有：4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：旋转cos,sin,cos,sinxryruwvw若引入极坐标00(,)(,)frFw那么f(x,y)和F(u,v)分别变成(,)(,)frFw和有00(,),(,)fxyFuv旋转角度也将旋转相同的角度;反之亦然4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：周期性和对称性(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)FuvFuMvFuvNFuMvNfxyfxMyfxyNfxMyN周期性：*(,),FuvFuv共轭对称|(,)||,|FuvFuv4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：可分性112/2/0012/011(,)(,)1(,)MNjuxMjvyNxyMjuxMxFuvefxyeMNFxveM12/01(,)(,)NjvyNyFxvfxyeN其中对于每个x值，当v＝0,1,2,…,N-1时,该等式是完整的一维傅立叶变换。即F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅立叶变换。当y由0变为N-1时，沿着f(x,y)的所有行计算傅立叶变换。然而频率变量u仍然保持不变。为完成二维变换，将u值从0变到M-1.这涉及沿F(x,v)的每一列计算一维变换。可以通过先沿输入图像的每一行计算一维变换，然后沿中间结果的每一列再计算一维变换的方法来求二维变换。4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：卷积定理()*()()()fxhxfmxmdm101()*()()()MmfxhxfmhxmM对于离散域的函数，定义为：在泛函分析中，卷积是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。4.2傅立叶变换和频率域的介绍11001(,)*(,)(,)(,)MNmnfxyhxyfmnhxmynMN(,)*(,)(,)(,)(,)(,)(,)*(,)fxyhxyFuvHuvfxyhxyFuvHuv卷积理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积表示为f(x,y)*h(x,y)4.2傅立叶变换和频率域的介绍f(m)h(m)h(-m)h(x-m)f(x)*h(x)采用DFT可以在频率域进行卷积运算,但函数被看成周期函数,从而会引起错误。傅立叶变换计算范围4.2傅立叶变换和频率域的介绍,.fhABP避免周期混淆的办法：假设和分别由个和个点组成，那么对两个函数同时添加零以使它们具有相同的周期表示为这个过程产生扩展或延拓的函数，如下所示：()01()0efxxAfxAxP和()01()0ehxxBhxBxPP=A+B傅立叶变换计算范围4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍正确延拓正确没有适当延拓输入图像的频率域滤波结果适当延拓的图像适当延拓输入图像的频率域滤波结果原始图像之一损失不正确4.2傅立叶变换和频率域的介绍在空间域延拓的低通滤波器用延拓滤波的结果4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：相关性11*00**1(,)(,)(,)(,)MNmnfxyhxyfmnhxmynMNffff为的共轭函数,对于实数函数,**(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)fxyhxyFuvHuvfxyhxyFuvHuv相关理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定义如下：相关的重要用途在于匹配,用于确定是否包含有感兴趣的物体或区域。22(,)(,)|(,)||(,)|(,)(,)fxyfxyFuvfxyFuvFuv自相关：4.2傅立叶变换和频率域的介绍一维函数的相关256×25638×42293×2974.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的性质总结4.2傅立叶变换和频率域的介绍快速傅立叶变换离散傅立叶变换成为信号处理的一种基础工具的一个主要原因是快速傅立叶变换的发展。直接计算M点的一维傅立叶变换需要M2次的乘法/加法运算。快速傅立叶变换完成相同的任务只需进行Mlog2M次运算。考虑一维的情况，二维可以通过相继的一维变换得到12/01()()MuxjMMMxFufxWWeM其中,2nMMnMMK假设的形式为=2为正整数则可表示为212011(2)(21)22001()()2111[(2)(21)]2KuxKxKKuxuxKKxxFufxWKfxWfxWKK4.2傅立叶变换和频率域的介绍22uxuxKKWW因为＝1122200111()[(2)(21)]2KKuxuxuKKKxxFufxWfxWWKK所以有：1201201()(2)0,1,2,...,11()(21)0,1,2,...,1KuxevenKxKuxoddKxFufxWuKKFufxWuKK若定义：21()[()()]2uevenoddKFuFuFuW那么：2-2/2/2uxjuxKjuxKuxKKWeeW＝0,1,2,...,(/21)uM4.2傅立叶变换和频率域的介绍22,uMuuMuMMMM同样,因为＝＝-分析上面的式子,可以发现一个M点变换可以通过把原始表达式分成两部分来计算.计算F(u)的前半部分要对Feven和Fodd给出的两个M/2点变换进行计算。将Feven和Fodd代入F(u)即得F(u),u=0,1,2,…,(M/2-1).而另外一半可直接从F(u+K)得到,而无需另外的变换计算.可以分析，快速傅立叶变换的时间复杂度为：2logMM快速傅立叶变换相对于一维离散傅立叶变换的计算优势定义为：2()/logCMMM21()[()()]2uevenoddKFuKFuFuW可以得到4.2傅立叶变换和频率域的介绍当n增加时，快速傅立叶变换的算法优势越来越明显样点的数目为2n频率域滤波的基本步骤4.2傅立叶变换和频率域的介绍输入图像输入图像增强