频率特性分析法

第六章频率特性分析法2013年8月版本3.0华南理工大学自动化科学与工程学院制作:罗家祥审校:胥布工制作-罗家祥审校-胥布工第六章频率特性分析6.1引言6.2频率特性的基本概念6.3频率特性图示法6.4系统的开环频率特性6.5奈奎斯特稳定判据6.6稳定裕度6.7基于开环对数频率特性的系统性能分析6.8闭环频率特性与系统性能指标6.9利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析6.10小结制作-罗家祥审校-胥布工6.1引言本章知识体系基于开环对数频率特性的性能分析闭环频率特性与系统性能指标系统开环频率特性奈奎斯特稳定判据稳定裕度法频率特性概念闭环系统的典型频率特性频率特性图示法MATLAB应用制作-罗家祥审校-胥布工6.1引言引入频率法的原因：对于某些高阶系统，由于可能包含数十个以上的储能元件，难于建模和求解。频率法将系统看作是具有信号处理能力的黑箱，以正弦波为基本激励信号建立系统的输入输出特性。频率特性分析法：以不同频率的正弦信号作为输入，通过研究系统的频率响应特性来分析系统性能，称为频率特性分析法。优点：图形方式进行系统分析与设计，简单、直观。将乘法计算转化为简单的加法计算，在频率域中通过频率指标直接分析系统的性能。不需要求解时域响应，也不需按照系统工作原理进行微分方程的建模。制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念6.2.1频率响应与频率特性的定义线性定常系统的频率响应：在零初始条件下，系统对正弦输入信号的稳态响应。线性定常系统的频率特性：输入：正弦信号；输出：正弦信号，频率不变，幅值和相位发生变化。若采用极坐标将系统的正弦输入信号和正弦输出响应表示为复数，则系统的频率特性定义为：系统的输出与输入之复数比。)(tu)(ty线性定常系统mYtmU)(tu)(tyss0)(,)(tytu制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念考虑系统传递函数的一般形式1)-(6)()()(1nllgpssNKsG)(1sin)(tωtUtum输入：22mnllg22mmωsωUpssNKωsωUsGωtULsGsUsGsY1)()()(]sin[)()()()(输出：)3-6()()(G1nlllpsbjωsajωsasYs极点互不相同，则若4)-(60,)(1tebeaaetynltpltjtjl5)-(6)(tjtjsseaaety对于稳定的系统，pl0,当t趋向于无穷时，此项为0制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念tjtjsseaaety)(jUjGjssYajUjGjssYamjsmjs2)(|))((2)(|))((，利用待定系数法：22mωsωUsGsY)()(输出：jssGjG)()(其中，))(sin()(10)-(6))(sin()(2))(sin())(sin()(2)()()(2)()(22)(2)()()()()()()()(tUAjGtUjGjtjGjtjGjUjGjeeUjGejGejGjUeejGeejGjUejUjGejUjGtymmmtjjGjtjjGjmtjjGjtjjGjmtjjGjtjjGjmtjmtjmss制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念系统的频率特性为11)-(6)()()()()(jjsjGjsseAsGejGUY)()(:)(jGA也常称增益幅频特性)()(:jG相频特性反映出系统在不同频率正弦信号作用下的输入输出特性。式（6-11）表明了频率特性与传递函数之间的关系，即频率特性只是传递函数的一种特殊形式，可用j替代G(s)中的s求得。制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念6.2.2频率特性的物理意义12)-(6)arctansin()(1)(111)]([)(:222211TtTUeTTUsUTsLsULtumTtmmoo输出电路的输入电压和输出电压分别为ui(t)和uo(t)，对应的拉普拉斯变换分别为Ui(s)和Uo(s))(1sin)(:tωtUtum输入电容上初始电压为0时，13)-(6)sin()arctansin()(1)(:,t2tUTtTUtuommoss系统稳态输出为时当Ru)(tui)(tuoCuiRC制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念)arctan(-)(11)(1)A(:22TTUTUmm相频特性：幅频特性)arctansin()(1)(2TtTUtumoss分析：该电路起到了低通滤波的作用。1）当频率较低时，稳态输出电压和输入电压幅值几乎相等，且相位滞后较小，电路主要表现出电阻特性（=0时，输入与稳态输出均为大小相等的直流电压）。2）随着增大，稳态输出电压的幅值迅速减小，相位滞后随之增大，电路电容特性增强。3）当+，输出电压的幅值接近0，而相位滞后接近90°，电路近似为一电容。)(jGT/4T/8)(jG090100T/4T/8制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念频率特性的实验测量方法按频率特性的定义，系统（或元件）的频率特性也可方便地通过实验方法求得，能通过实验方法来建立系统的数学模型是频率特性法的突出特点。在所关心的频率范围，按一定间隔改变输入信号的频率值，分别测得对应的幅值比和相位差即可求得系统的频率特性曲线。（实验对象）线性定常系统或元件双踪示波器正弦信号发生器制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念将图6-5所示控制系统视为信号处理单元，分别对输入和输出作傅立叶反变换得14)-(6)(21)(dejRtrtj15)-(6)()(21)(21)(dejRjTdejYtytjtj分析：T(j)为反馈控制系统的闭环频率特性。从快速性和准确性的角度出发，最理想的情况为y(t)r(t)，T(j)=1。理想的闭环曲线为矩形，矩形频段内的相位为0：1）通常系统的有效信号往往集中于中低频段，要求T(j)=1。2）高频段：|R(j)|0，如虚线所示。系统高频段需滤除噪声，也要求|T(j)|0。6.2.3反馈控制系统的典型频率特性)(jT)(jR)(jY)(,)(jRjT)(jT)(jR0制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念理想的矩形闭环频率特性很难实现，而闭环控制系统的典型频率特性如图6-7：闭环频域性能指标：M(0):零频振幅比Mr:谐振峰值r:谐振频率b:带宽频率闭环控制系统的幅频特性M()=|T(j)|曲线有以下特点：（1）低频部分幅值M()=变化比较平缓；（2）由于典型的闭环系统往往设计成欠阻尼的，有一对共轭主导极点，对某个频率的输入信号由最大值，M()出现峰值；（3）在峰值之后，曲线以较大的陡度衰减直至为零，即实际控制系统通常具有低通作用，因而存在一定的带宽。)(jT)0(M)0(707.0MrMrb0带宽制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念闭环系统的带宽取决于对重现信号能力的要求（对应于时域响应速度）和对高频噪声过滤的要求两者的折衷。例如，考虑两个2阶闭环系统如下：90030900)(,10010100)(2221sssTsssT5.0:21阻尼系数rad/s03rad/s,10:21nn自然振荡角频率两个闭环系统响应曲线的峰值时间分别为：ststpp12.0,36.021ResponseStep(sec)TimeAmplitude4.12.10.18.06.04.02.0002.04.06.08.012.11Y2Y制作-罗家祥审校-胥布工6.2频率特性的基本概念40rad/srad/s,15:21bb带宽频率可见，系统带宽越大，时域响应的速度越快。ststpp12.0,36.021•系统的频率响应很难直接求解时域响应，因而直接在频域内分析系统；•频率分析法的主要任务就是研究系统频率响应与时域响应之间的关系，建立频域指标与时域指标之间的定量关系。采用频率响应来分析控制系统时域响应的基本思路：ResponseStep(sec)TimeAmplitude4.12.10.18.06.04.02.0002.04.06.08.012.11Y2Y100102030401B2BTlg201T2T3110100制作-罗家祥审校-胥布工6.3频率特性图示法16)-(6)()()()()(|)(|)(jQPAjGjGjGP():实频特性Q():虚频特性A():幅频特性:相频特性G(j)复平面上的表示G(j)在复平面上滑过的轨迹用极坐标和直角坐标表示频率特性：)()(jG)(P)(Q)(AIm0Re)(1)(1jG)(2)(2jGIm0Re)(1A)(2A制作-罗家祥审校-胥布工6.3频率特性图示法6.3.1幅相频率特性曲线奈奎斯特曲线：(幅相频率特性曲线，极坐标曲线）G(j)随从0变至+在复平面上连续变化而形成一条曲线，曲线特征:极坐标：A(),,=0（或者0）；+，箭头表明增大时轨迹的走向特点：P()和A()为的偶函数,Q()和()关于的奇函数，因此关于实轴对称；负频率部分奈奎斯特曲线通常以虚线形式表示，无物理意义，有几何意义。)arctan(-)()(11)A(:RC2TT电路)()(jG)(A0Im0Re制作-罗家祥审校-胥布工6.3频率特性图示法6.3.2对数频率特性曲线（伯德图，对数坐标曲线）)()()()()(|)(|)(jQPAjGjGjG横坐标：lg()的均匀刻度，但直接标注，单位：rad/s十倍频程：变化10倍称一个十倍频程(记dec）；特点：1）两个频率间的几何距离为：lg2-lg1，而不是2-1。2）横坐标采用对数刻度，相对展宽了低频段而压缩了高频段，既有利于刻画更广频率范围的系统特性，又突出了低频段的特性细节。120401004102十倍频程十倍频程十倍频程制作-罗家祥审校-胥布工6.3频率特性图示法纵坐标：1)对数幅值，纵坐标均匀刻度，单位是分贝(dB）。2)对数相频特性的纵坐标为相角，单位是度(°)。)(lg20)(lg20)(AjGL)()(jG优点：1)将乘除运算转化为加减运算，故可通过简单的图像叠加快速绘制高阶系统的伯德图；若考虑G(j)=A1()ej1()+A2()ej2()，则有|G(j)|=lgA1()+lgA2()2)伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后，很容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.)rad/sec/(T/1T/1.0T/10051015202504590)dB/()(L)/()(DiagramBode制作-罗家祥审校-胥布工6.3频率特性图示法6.3.3对数幅相特性曲线（尼科尔斯（N.B.Nichols）曲线）横坐标为相位()纵坐标为对数幅值L()=20lgA()绘制过程：从伯德图中分别读取各频率下L()和()的值，在尼科尔斯坐标系中确定相应的点并将频率作为参变量标于各点旁，然后以光滑曲线连接各点即可得到尼科尔斯曲线。0102030401.12/T:(rad/sec)Freq3.54-:(dB)Gain48.2-:(deg)Phase9.75/T:(rad/sec)Freq