第三章 变分法基础 翟立强

第三章用变分法解最优控制—泛函极值问题主讲人：翟立强第一节变分法基础•在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者可对照微分学中的结果来理解。先来给出下面的一些定义•1、泛函：如果对某一类函数中的每一个函数，有一个实数与之相对应，则称为依赖于函数的泛函。记为•粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。X(t){X(t)}JJX(t)J{X(t)}J•一般的泛函就是把函数作为元素来研究的一门学科，泛函分析，举个简单一点的列子，我们以前学的函数是把数字作为基本的元素来研究的，现在更高一个层次，就是元素就是一个函数，比如全体实系数连续函数构成一个集合A，那么这个A中每一个元素就是一个函数，而泛函就是研究在类似于A这种集合到数之间的关系，比如在定义一个A到实数R的映射f(x),那么x就代表一个函数，所以有些人也称为是研究函数的函数.0若对任给的，存在0)(ˆ)(tXtX当时，就有)ˆ()(XJXJ则称在处是连续的。)(XJXˆ2、泛函的连续性：满足下面条件的泛函称为线性泛函这里是实数，和是函数空间中的函数。XJXJ)()()(YJXJYXJXY3、线性泛函：4、自变量函数的变分：自变量函数的变分是指同属于函数类中两个函数、之差)(tXX)(tX)(1tX)(2tX)()(21tXtXX这里,t看作为参数。当为一维函数时，可用图3-1来表示。)(tXX这里，是的线性泛函，若时，有，则称是泛函的变分。是的线性主部。XXJ,X0X0XXJ,XJJJ当自变量函数有变分时，泛函的增量为)(tXXXXXJ,XJXXJJ5、泛函的变分：图3-1自变量函数的变分6、泛函的极值：我们知道函数有极值问题，同样道理泛函也有极值问题。泛函的极值问题就是要求出使泛函取得最大值最小值的函数因此，泛函极值即求使泛函取得最大（小）值的函数。)...)(),()((21xyxyxyy或泛函极值定义：若存在，对满足的一切X，具有同一符号，则称在处有极值。0*XX)()(*XJXJ)(XJ*XX定理：在处有极值的必要条件是对于所有容许的增量函数（自变量的变分），泛函在处的变分为零，即：)(XJ*XXX)(XJ*X*(,)0JXX为了判别是极大还是极小，要计算二阶变分δ2。但在实际问题中根据问题的性质容易判别是极大还是极小，故一般不计算δ2。.JJ变分法•研究函数的极值问题用的是微分学，研究泛函极值的方法是变分法。因此，变分法即研究泛函极值的方法。•研究函数y=f(x)在一点的性态用的是微分。其中包括自变量的微分dx和函数的微分dy，函数的微分可写为:0()dyfxx•其中为任意小的正数。•类似地，研究泛函在一点的性态用变分。自变函数y=y(x)的变分记为，泛函的变分记为。•的定义为;•其中,为任意小的正数。yII0()IIyxy泛函取极值的条件•从数学分析中可知，可微函数y=f(x)在x=x0处取极值的必要条件是该点处dy=0，即:•对于有变分的泛函I=I[y(x)]来说，在上达到极值的必要条件是在该曲线上有，即:000fxx0()yyx0I00[()]0Iyxy•可见泛函取极值的条件与函数取极值的条件是类似的，但它们之间有本质的差别。函数的极值条件为自变量在某点处的增量时函数将以一定的方式趋于零，即；而泛函取极值的条件为y=y(x)在某处的变分时，泛函以某种方式趋于零。0x00()()0yfxxfx0y变分与微分联系（1）.变分与微分在数学意义上等同都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不同。（2）.微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数。（3）.变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即泛函。