数学的思维特征与研究方法

数学的思维特征与研究方法课题：数列求和（高三第一轮复习课）1.教学过程：课堂教学分两个阶段：第一阶段是“知识聚焦”（学案用语）.授课教师引导学生回忆等差数列和等比数列的前n项和公式；回顾一些常见的数列的前n项和，主要是类似自然数1+2+3+……+n等构成的特殊的等差数列的求和；并复习了几种数列求和的常用方法：（1）分组求和法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）倒序相加法.第二阶段:“点面讲考向”分为三个探究：探究一是分组求和法；探究二是裂项相消法求和；探究三是错位相减法求和.每个探究各配有一个或两个例题.在每一个探究完成之后，教师都要给出一个小结.2.教学逻辑的分析：本节课授课教师对高三复习的定位是怎样的呢？作为高三教师是否明确数学复习课的目的是什么？具体到本节课就是教师是否关注学生对数列求和问题的理解和研究呢？我们看到的教学是教师更关注学生对数列求和公式的记忆是否准确和对数列求和四种方法是否能够准确地应用.显然，这位教师的复习定位是有问题的.他把数学的学习包括数学的复习理解为学生记忆公式、结论和方法，并能够应用方法解决问题，忽视的是学生数学思维水平的发展和思维能力的培养.实际上，等差数列和等比数列求和公式的复习的落脚点应该是放在这两个公式推导的数学思维过程中.也就是为什么在等差数列的前n项的求和采用的是倒序相加法而在等比数列的前n项的求和时运用的却是错位相减法？对于这两个问题的回答最终都要归结为对等差数列和等比数列的性质的认识上.如果是从这个角度引导学生去思考，就会给本节课的教学目标的实现打下很好的思维基础.人教B版是通过生产实践中的一个例子“计算按等差数列码放的一堆钢管的个数”为问题情境，设想在这堆呈梯形的钢管倒放的情况下和原来的那堆拼在一起得平行四边形，从而计算出钢管的总数.人教A版教材的做法是通过200多年前被誉为“数学王子”的高斯其家喻户晓的故事“计算1+2+3+……+100”做为引子，通过一个探究活动“高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般等差数列的前n项和吗？”提出了所谓的“倒序相加”的方法.可以看出，两套教材都不约而同的采取了用生活或生产中的具体的实际例子为背景作为“倒序相加”方法提出的合理依据，符合新课程所提出的“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”的理念.在课堂教学中很多教师也是采取这样的引入进行等差数列的前n项和公式的推导的.但是，无论是从数学知识之间的逻辑看，还是从教学内容的内在关系看，上述做法又显得牵强、不够自然.如果每一个数学公式的推导的背后都有这样的一个生动的实例作为依据，那倒真是有趣的数学了.数学教学的思维含量的多少是数学课堂是否有质量的标志，数学教师的任务就是要能够把自己对所教授知识的深入研究和深刻的理解融入到自己的课堂教学的实践中，“人云亦云”式地、缺乏教师个人研究、思考的教学，终究是没有个人特色的教学；缺乏数学逻辑的数学教学哪怕是“生动的”、哪怕是所谓的能够激发学生学习“兴趣”的教学设计，也终究是违背数学教学理念和数学教学价值的.在“等差数列的前n项和”的教学中，符合逻辑的教学应该是研究等差数列性质的继续.特别是在上一节进行完“等差数列”的教学之后，应该是把学生的研究等差数列的思维引向深入：通过对等差数列的性质的分析，学生已经掌握了等差数列与“和”有关的一个非常重要的性质，即这个数列的某两项的序号和如果等于另外的某两项的序号和，则其对应的这两项的项数和就就与另外的两项的项数和相等.如果用更形象一点的话来叙述，就是在等差数列中，与首项和第n项距离相等的任意两项的和都与首项和第n项的和相等.如何运用等差数列的这条性质求其前n项和呢？能否回避对序号n的奇偶性的讨论就可以计算出等差数列的前n项的和呢？教师可以通过类似这样的问题引发学生的思考，尽量能够比较自然、让学生能够接受的方式提出“倒序相加”的方法.上述的教学设计的价值在于，“等差数列的前n项和”的教学目的不仅仅是推导出一个求和公式，更重要的是要让学生通过本节课的学习加深对等差数列的认识，能够学会如何运用等差数列的性质解决问题，使学生对等差数列的研究方法有更深一层的理解.课题：数列求和（高三第一轮复习课）对于数列求和的四种方法的教学也要把教学的重点放在对问题的理解上和解决数列求和的方法的探寻上.不要像实际教学过程那样，先复习方法，再在所谓“探究”的幌子下进行方法的操练.这样的“探究”学生没有思维的空间，他（她）不需要想什么，只需要把“探究”名义下的“方法”运用到相应的例题解决中即可.实际上，符合教学逻辑的做法是直接给出数列求和的问题，让学生在对问题的理解和分析中去探索相应的数列求和的方法.而这种方法的确定学生需要明确：首先要判断这个数列的属性，如果是特殊的数列如等差数列或等比数列，那就直接用求和公式；如果不是特殊数列，那就研究这个数列的通项公式，并根据数列通项公式的特点，选择合适的方法.本节课授课教师对每一种数列求和的方法都做了小结，力图帮助学生提炼出一些东西来.但是从教学的实际过程看，这样的提炼有点就事论事，提炼的高度不够.原因在于授课教师还是满足于对于具体方法的落实上，而没有看到方法背后的思维的价值.课题：数列求和（高三第一轮复习课）如果这位教师在和学生进行充分的思维活动的基础上，让学生能够感悟到数列求和的四种方法其实就是一种方法.即在判断出某数列不是特殊数列之后，只要研究它的通项公式，从通项公式也就是从项与n的关系中找到解决问题的方法.本节课的思维逻辑的基础是对“数列的前n项和”这一概念的深刻理解.数列的前n项和不是一个简单的求和计算.我们要明确的是数列的前n项和Sn也是一个数列，也就是数列的前n项和Sn关于n的函数.如此，Sn也有可能是特殊的数列如等差数列或等比数列；而求数列的前n项和Sn本质上是确定Sn和序号n的关系，也就是明确函数的自变量n与应变量Sn的关系.课题：数列求和（高三第一轮复习课）我们的数学教学是一定要能够给学生带来观念的转变的，这种转变的基础在于教师对数学概念的深刻理解.我们要坚持用最基本概念来给学生们理解教学的内容，要教会学生会用最基本的数学概念来理解学习的知识.只有这样，我们的课堂教学才能够实现其真正的教育价值.1.要挖掘知识背后的思维的素材2.要教给学生思考数学问题的方法3.要提炼研究问题的一般方法4.要渗透学科的观点、思想1.要挖掘知识背后的思维的素材我们要教给学生什么？学生学习数学的目的又是什么？为什么有的教师所上的数学课是那么的苦涩、无味？看到学生对学习数学的畏惧，甚至有的人把数学学习作为自己人生最失败的经历，作为数学教师的我们又作何感想呢？目前课堂教学中存在的问题是什么？数学教学的目的是什么呢？数学教学的意义又在哪里呢？在《集合》的学习中，你能体会到在这部分内容中的数学思维层面的东西吗？在《集合》的教学中如何体现数学的思维呢？无论是集合的含义，还是集合的关系、还是集合的运算，都是通过研究元素与集合的关系来进行的，这也就告诉我们，集合这种语言的特点，要从元素与集合的关系来掌握并运用这种语言.集合之间的关系体现在元素与集合的关系的：如子集关系、如相等集合的关系、如真子集的关系，无一不是体现在元素与集合的关系上.如在“集合”的教学中，集合之间的关系，集合间的运算通过简单的实例、平铺直叙式的进行教学也能够“完成”所谓的教学任务.但经历这样的数学教学的学生就没有机会体会研究集合问题的思维方式，即通过元素与集合的关系来刻画集合之间的关系以及集合之间的运算.学生可能会很熟练地进行交、并、补的运算，但无从知道这种运算背后的数学观点是什么，数学原理是什么.在函数图象的变换中，“左加右减”2.要教给学生思考数学问题的方法发展学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一.高中数学教学的重点就是要让学生学会用数学的思维思考数学问题和及解决问题！函数的思维特征()yfx满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间又具有什么关系呢？满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间又具有什么关系呢？满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间又具有什么关系呢？代数特征：自变量互为相反数，其对应函数值也互为相反数.几何特征：点(x,f(x))与点（-x,f(-x)）同时在函数的图像上.故函数图象关于原点对称.代数特征：自变量互为相反数，其对应函数值相等，定义域关于原点对称几何特征：点(x,f(x))与点（-x,f(-x)）同时在函数的图像上.函数图象关于y轴对称.()()fxfxT()yfx是奇函数能够读懂用数学的符号语言所表达出的函数性质()()2axaxa要有能力把用自然语言所描述的函数性质用数学的符号语言表达出来.函数y=f(x)关于点（1，0）对称函数y=f(x)关于点（1，2）对称函数y=f(x)关于点（-1，-2）对称函数y=f(x-1)关于点（1，0）对称函数y=f(x-1)关于点（1，2）对称函数y=f(x-1)关于点（-1，-2）对称22()(6)[(6)7(6)4]=52fxfxxxxx()()fxfx()(4)fxfx()(4)fxfx4T(6,2)x4(2,2)x2()(4)1(4)fxfxx理14.设函数()sin()fxAx，0,0A，若)(xf在区间]2,6[上具有单调性，且6322fff，则)(xf的最小正周期为________.1π2π7π+=22312（）2πππ=T326ππ2πT2()=2631πππ+=2623（）7ππT=()4π123平面解析几何的思维特征是什么呢？m+k=0立体几何的思维特征是什么呢？1.点的位置的确定-------垂足的确定（1）基本方法：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．能力提升：过平面外一点作与已知平面垂直的平面.OB1A1D1C1CDBA通过平面来确定直线的位置数列的思维特征是什么呢？函数观点下的数列问题用函数的观点来认识数列用函数的思维理解数列问题用研究函数的方法来解决数列问题.97()98xfxx9898979897()19898xfxxx1132nn132[1()]2312nn（2）如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法.（1）判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如是，用公式和性质解决.解决数列问题的基本思路是：12231nnaaaaaa求na是等比数列41252aa，1.2q1nnaa1是个公比为等比数列41223118[1()]324(14)1314nnnnaaaaaa4710310()22222()nfnnN则()fn分析要点：471013(1)22222f47101316(2)222222f4710310()22222()nfnnN3n+10=1+（m-1）×3m=n+4，共n+4项要关注数列的项数：3.要提炼研究问题的一般方法函数f(x)=212log,0,log(),0xxxx()(0)fxf这是一种计算的思维！能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢？()(8)fxf利用函数的解析式研究函数的性质函数xxxxeeyee2015年全国新课标卷（1）12.设函数()(21)xfxexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x使得0()0fx，则a的取值范围是A．3,12eB.33,24eC.33,24eD.3,12e分析：1.()(21),xgxex()hxaxa.研究：()(21)xgxex的性质①函数值的分布：1()(21)0,2xgxexx，函数零点；0,1xy.1,()02xgx；1,()02xg