第九章__双因素和多因素方差分析

第九章双因素和多因素方差分析学习目标掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、无重复观察值）资料的方差分析方法。熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来源期望均方构成。了解：缺失数据的估计原理及方差分析方法。讲授内容第一节双因素方差分析概述第二节不同实验类型的双因素方差分析第三节多因素试验的方差分析第四节缺失数据的估计第五节数据变换第一节双因素方差分析概述一、双因素试验汇中的几个基本概念1、主效应（maineffect）：各实验因素相对独立的效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，如包装方式对果汁销售量的影响。2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的相互作用而产生的效应。3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)：两个因素对试验结果。两个因素对试验数据的影响。4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factorwithreplication)：如果两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响。二、双因素交叉分组试验设计的描述（一）双因素试验的数据描述（二）观测值的描述（三）平方和与自由度的分解（四）平方和的简便计算公式（五）各项均方的计算（一）试验数据的描述B1B2…Bby111y121…y1b1y112y122y1b2┆┆┆y11ny12ny1bny211y221…y2b1y212y222y2b2┆┆┆y21ny22ny2bnya11ya21…yab1ya12ya22yab2┆┆┆ya1nya2nyabn和y.1.y.2.…y.b.y…ya..┆┆因素Bj=1.，2,3…，b和y1..y2..Aa…┆┆┆A1A2因素Ai=1.，2,3…，a（二）观测值的描述对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述表示随机误差水平的交互效应第水平和因素的第表示因素水平的处理效应第表示因素水平的处理效应第表示因素均数表示所有观测值的总平其中ijkijjiijkijjiijkiBiAjBiAy（三）平方和与自由度的分解1、平方和的分解总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、误差平方和SSeA因素误差平方和B因素误差平方和AB交互作用误差平方和随机误差项平方和2b1jjByyanSS2a1iiAyybnSSa1b12AByyyynijjiijSSa1b1n12ijijkyySSeijk）（2、平方和的分解与平方和相应的自由度分别为：总自由度：dfT=abn-1A因素处理间自由度：dfA=a-1B因素处理间自由度：dfB=b-1交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1)处理内自由度：dfe=ab(n-1)dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe（四）平方和的简便计算方式a1b1n12ijkTCySSijkABBATa1b1n1a1b12ij2ijkSSSSSSSSyn1ySSeijkijCybn1a1i2iASSb1j2jBCyan1SSa1b12AByyyynijjiijSS（五）各项均方的计算1bBBBBSSdfSSMS1abnSSdfSSMSTTTT1-aAAAASSdfSSMS）（1-nabeeeeSSdfSSMS1-b1-aBBBAAAASSdfSSMS第二节不同实验类型的双因素方差分析一、固定模型（一）重复试验时的双因素方差分析1、观察值的线性统计模型2、提出假设ba...,2,1j;...,2,1i0H0H0H,0H0H,0HijA3ij03iA2i02iA1i01，，，其中）：（，）：（：：：：;...,21k;...,21j;...,21iyjkijijiijknba，，，，其中3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以MSe做分母：FA=MSA/MSeFB=MSB/MSeFAB=MSAB/MSe用F分布的上尾检验，拒绝域为FFα4、均方期望ainMSE12j2B1ba)(＋aiiAanMSE1221b)(＋2e)(MSEaiijAbanMSE122B)1)(1)(（＋（二）无重复实验时的双因素方差分析1、观测值的描述2、提出假设的随机变量，分布为相互独立且服从正态；；，，，其中2jib1jja1iijijiijk0N00;...,21j;...,21iyba0H,0H0H,0HiA2i02iA1i01：：：：3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母FA=MSA/MSeFB=MSB/MSe用F分布的上尾检验，拒绝域为FFα（三）交互作用的判断Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的判断P150二、随机模型1、观察值的线性统计模型2、提出假设;...,21k;...,21j;...,21iyjkijijiijknba，，，，其中ba...,2,1j;...,2,1i0H0H0H,0H0H,0H2A32032A22022A1201，，，其中：，：：：：：3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量是以MSAB做分母；互作效应的检验统计量以MSe做分母FA=MSA/MSABFB=MSB/MABFAB=MSAB/MSe用F分布的上尾检验，拒绝域为FFα注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同4、均方期望222Bann)(＋MSE222bnn)(＋AMSE2e)(MSE22Bn)(＋AMSE三、混合模型（以A为固定因素、B为随机因素为例）在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性，为固定效应，为随机效应对A做检验时用随机模型，对B及AB交互效应做检验时用固定模型。P177ijij例1：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.4224.022.021.7314.213.312.3431.531.427.5题解解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析。iyjy肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.419.5224.022.021.722.57314.213.312.313.27431.531.427.530.1322.721.1820.23变差来源平方和自由度均方统计量F小麦品种442.173147.39115.02**肥料种类12.4726.244.87误差7.6961.28总和462.3311小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。例2：用两种不同的饲料添加剂A和B，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。请进行统计分析，并回答下列问题。添加剂B添加剂A不同条件下大白鼠增量/g1234132，3628，2218，1623，21226，2429，3327，2317，19333，3930，2433，3723，27439，4331，3528，32`36，34该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何影响？题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复。（2）分析：固定模型下：iyjyajaiB123413425172224.522531251824.7533627352530.7544133303534.75342926.752528.69变差来源平方和自由度均方统计量FA592.3753197.45824.68**B365.3753121.79215.22**AB425.125947.2365.904**误差128168总和1510.87531查F分布表：78.3)16,9(;54.2)16,9(;29.5)6,3(;24.3)6,3(99.095.099.095.0FFFF所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。随机模型下：查F分布表：FA显著但未达极显著，FB不显著，FAB极显著。所以大白鼠增重与A、AB的交互作用有显著关系。综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法进行。**18.4ABAAMSMSF58.2ABBBMSMSF**904.5eABABMSMSF99.6)9,3(;86.3)9,3(99.095.0FF第三节多因素试验的方差分析一、观测值的描述假设在一个试验中，A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因素有c个水平，每个因素有n次重复，那么观测值的线性统计模型为n...,21lc...,21kb...,21j...,21iyijklijkikjkijkjiijkl，；，；，；，aA1A2A3B1B2B3A1A2A3B2B3B1(a)无交互效应(b)有交互效应图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。交互效应H01:i=0,i=1,2,……aH02:βj=0,j=1,2,……bH03:()ij=0,i=1,2,……a,j=1,2,……b备择假设为:HA:上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个备择假设。)零假设方差分析的基本思想仍是总变差分解：即：SST=SSA+SSB+SSAB+SSe自由度：abn-1a-1b-1(a-1)(b-1)ab(n-1)总变差分解均方数学期望aiiAAabnaSSEMSE1221)1()(bjjBBbanbSSEMSE1221)1()(aibjijABABbanbaSSEMSE1122)()1)(1())1)(1(()(2))1(()(nabSSEMSEee检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用MSe即可。检验H01，H02，H03的统计量分别为：检验H01，H02，H03的统计量,eAAMSMSFeBBMSMSFeABABMSMSF从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行检验。各效应的估计值.....yyˆ...yˆiia...yyˆ..jj...)ˆ(.....xxxxjiijji其中i=1,2……a,j=1,2,……b。计算公式aibjnkijkTabnSS1112...2yy