高考数学立体几何部分典型例题.总结

（一）1.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()．A．92＋14πB.82＋14πC．92＋24πD.82＋24π命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察面积易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析由三视图可知：原几何体为一个长方体上面放着半个圆柱，其中长方体的长宽高分别为5,4,4，圆柱的底面半径为2，高为5，所以该几何体的表面积为：S＝5×4＋2×4×4＋2×5×4＋π×22＋12π×2×5×2＝92＋14π.答案A2．（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2.（12分）(1)求证：AF∥平面CDE；(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．命题意图：线面平行的位置关系，线面角、二面角的求法易错点：（1）直接建系，不去证明三条线两两垂直（2）数据解错（3）线面角求成正弦值(1)证明法一取CE的中点为G，连接DG，FG.∵BF∥CG且BF＝CG，∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG.∵四边形ABCD为矩形，……………………………………..1分∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG.∵DG⊂平面CDE，AF⊄平面CDE，∴AF∥平面CDE.……………………………………..3分(2)解∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，BC⊥CE，∴DC⊥平面BCEF.…………………………………….4分以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………….5分根据题意我们可得以下点的坐标：A(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)，则AD→＝(－2,0,0)，DE→＝(0,4，－4)．设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则AD→·n1＝0，DE→·n1＝0，∴－2x＝0，4y1－4z1＝0，取z1＝1，得n1＝(0,1,1)．∵DC⊥平面BCEF.……………………………………7分∴平面BCEF的一个法向量为CD→＝(0,0,4)．设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，则cosα＝CD→·n1|CD→|·|n1|＝44×2＝22，因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为22.…………………………………….9分(3)解根据(2)知平面ADE的一个法向量为n1＝(0,1,1)，∵EF→＝(2，－2,0)，∴cos〈EF→，n1〉＝EF→·n1|EF→|·|n1|＝－222×2＝－12，……………………….10分设直线EF与平面ADE所成的角为θ，则cosθ＝|sin〈EF→，n1〉|＝32，因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为32.…………………………………….12分（二）1.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．8－2πB．8－πC．8－π2D．8－π4命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，且该几何体的高为2，V＝23－12×π×1×2＝8－π，故选B.答案B2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．命题意图：异面直线所成角；利用空间向量解决探索性问题易错点：（1）异面直线所成角容易找错（2）异面直线所成角的范围搞不清（3）利用空间向量解决探索性问题，找不到突破口解(1)如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz.依题意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(12，1,0)，…………………………………….1分所以NE→＝(－12，0，－1)，AM→＝(－1,0,1)．…………………………………….2分设直线NE与AM所成角为θ，则cosθ＝|cos〈NE→，AM→〉|…………………………………….3分＝|NE→·AM→||NE→|·|AM→|＝1252×2＝1010.…………………………………….5分所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.(2)如图，假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，连接AE.因为AN→＝(0,1,1)，可设AS→＝λAN→＝(0，λ，λ)，又EA→＝(12，－1,0)，所以ES→＝EA→＋AS→＝(12，λ－1，λ)．…………………………………….7分由ES⊥平面AMN，得ES→·AM→＝0，ES→·AN→＝0，即－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0，故λ＝12，此时AS→＝(0，12，12)，|AS→|＝22.…………………………………….10分经检验，当AS＝22时，ES⊥平面AMN.在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝22.………………12分（三）1．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()．A.233B.476C．6D.7命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案A2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.命题意图：面面垂直，线面平行的判定，空间几何体的体积易错点：（1）判定时条件罗列不到位失分（2）求体积时不会分割(1)证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，…………………………………….1分又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，…………………………………….2分BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.…………………………………….4分(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，…………………………………….6分连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，…………………………………….7分又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.…………………………………….8分(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝32.所以VC－BEF＝13S△BEF×CB＝13×12×1×32×1＝312，VF－ABCD＝13S矩形ABCD×EE1＝13×2×1×32＝33，…………………10分所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝5312.…………………………………….12分（四）1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－23＝223.答案2232.（本小题满分12分）命题人：贺文宁在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．如图所示，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.(1)求证：C′D⊥平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．命题意图：空间几何体的“翻折”问题，考察学生空间想象能力和知识迁移能力易错点：把平面图形转化为空间几何体，数据错误，垂直平行关系错误(1)证明平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知C′D＝CD＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，…………………………2分即BC′2＝C′D2＋BD2∴C′D⊥BD.又∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.…………………………4分(2)解由(1)知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C′(0,0,6)．……………………6分∵E是线段AD的中点，∴E(4,3,0)，BD→＝(－8,0,0)．…………………………7分在平面BEC′中，BE→＝(－4,3,0)，BC′→＝(－8,0,6)，设平面BEC′法向量为n＝(x，y，z)，∴BE→·n＝0，BC′→·n＝0，即－4x＋3y＝0，－8x＋6z＝0，令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝(3,4,4)．………………………10分设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BD→〉|＝|n·BD→||n||BD→|＝34141.∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为34141.………………12分书是我们时代的生命——别林斯基书籍是巨大的力量——列宁书是人类进步的阶梯———高尔基书籍是人类知识的总统——莎士比亚书籍是人类思想的宝库——乌申斯基书籍——举世之宝——梭罗好的书籍是最贵重的珍宝——别林斯基书是唯一不死的东西——丘特书籍使人们成为宇宙的主人——巴甫连柯书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉——库法耶夫书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料———雨果