华中科技大学 流体力学第七章_2

习题7-1，7-27.2速度环量与旋涡强度速度环量--沿封闭曲线的切向速度积分1．速度环量ddddLLuxvywzsvddddxyzsijkuvwijkv正方向：逆时针，沿正方向行进时，曲线所围区域总是在左手边。Ldsv例设速度分布为u=-6y，v=8x，求绕圆x2+y2=1的速度环量。在圆x2+y2=1上,cosxsiny22006sind(cos)8cosd(sin)14其速度环量为dd6d8dLLuxvyyxxy解2．旋涡强度涡量--速度场的旋度2v12v面积A上的涡通量--涡量在A上法向分量的积分dd2dAAAIAAAnnnv也称为旋涡强度(或涡强)n--面积A上的法向单位矢量。当面积A在xoy平面上，nx=0，ny=0，nz=1所以z2dAIA旋涡强度类似于体积流量，它表示通过指定面积旋涡量，这就是它被称为涡通量的原因。2d2dxxyyzzAAIAnnnAn例设速度分布为u=-6y，v=8x，求x2+y2=1所围圆面积上的旋涡强度。在面积A上旋涡强度2d27d2714zAAIAA1186722zvuxy解旋转角速度与上个例题中速度环量相等。3．斯托克斯(Stokes)定理根据数学定理:如果A是封闭曲线L所围的单连通区域，则dddcoscoscosdLAPxQyRzRQPRQPn,xn,yn,zAyzzxxy令P=u，Q=v，R=w，2xRQwvyzyzcosxn,xn2yPRuwzxzx2zQPvuxyxycosyn,yncoszn,znLAd2dLAAIsnvALnddd2dxxyyzzLAuxvywznnnA封闭曲线L上的速度环量与L所围单连通区域A上的旋涡强度之间具有等量关系。斯托克斯定理中的A可以是空间曲面面积，而不一定要求是平面面积。无旋流动--沿流场中任意封闭曲线的速度环量均为零2Ivr例测出龙卷风旋转角速度为=2.5rad/s，风区最大风速为vmax=50m/s。求出整个龙卷风区域的风速分布。I是龙卷风的旋涡强度。解龙卷风可以被看成是一股垂直于地面的旋转流体，它的中心部分(涡核区)以等角速度绕自身轴旋转，并带动周围流体绕其转动，其流动是无旋的。在涡核区内rR，流体速度分布为rωvθ在涡核区外rR，流体速度分布为由两个区域的速度表达式可以看出，最大速度发生在涡核区的外缘，即r=R处。由涡核区速度表达式得max5020m2.5vR21000m/s2IRvrrr2.5m/s,20m1000m/s,20mθrrvrr222IRvR龙卷风的旋涡强度等于沿r=R圆周的速度环量涡核外速度为龙卷风区域的风速分布7.3旋涡运动的基本概念1．涡线与涡管涡线---处处与涡矢量相切的空间曲线。涡线也可以被看成是流体质点的瞬时转动轴。2由于ddd,,,,,,,,,xyzuxyztvxyztwxyzt流线方程2134ddd,,,,,,,,,xyzxyzxyztxyztxyzt涡线方程涡线不相交，并且具有瞬时性。涡管--由涡线组成的管状曲面。涡管强度--涡管横截面积上的涡通量。涡管的例子：龙卷风涡核部分像柱形的刚体一样高速旋转，其流体质点都具有很大的旋转角速度；涡核区以外的流体在涡核区流体的带动下作圆周运动，但其质点的旋转角速度却为零。龙卷风涡核区的外边界可以被近似地看成是一个涡管。类似地，江水、河水中的旋涡也可以被近似地当作涡管处理。海姆霍茨定理任一瞬间沿涡线方向涡管强度不变。证明012ddAAAVAVn00n0v12ddAAAAnn在涡管管壁A0上有n0n1n2A0A2A1推论在流场中涡管不能中断。涡管只可能以下列三种形式出现：一端或者两端延伸到无穷远；自身形成封闭环；端部中止于物面或者其它边界。例抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环；龙卷风一端始于水面，另一端升入云层；河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。2．开尔文（Kelvin）定理在讨论无旋流动时，很自然要提出的问题是：在什么条件下流动才有可能是无旋的？开尔文定理指出了旋涡生成的原因，因而能够帮助我们对上述问题做出回答。定义如果质量力矢量可以表示为某函数的梯度，即，f例重力场是最常见的有势力场，ggzfkgz--力势函数则该质量力场为有势质量力场。例科里奥利力是非有势质量力。gzgzgzgzgxyzijkk定义如果流体密度只是当地压强的单值函数，即pFP--压强函数该流体为正压流体。此时，可以定义一空间函数dFpPpddFpPρ或11dddddd1ddddddddFFFFFFFFFFPPPpppxyzxyzPPPpppxyzxyzxyzxyzPPPpppxyzxyzxyzxyzpPijkijkijkijkijkijkpρPF1又可以表示为正压条件ddFpPρ定义如果流体密度只是当地压强的单值函数，即pdFpPpFP--压强函数该流体为正压流体。此时，可以定义一空间函数pρPF1或者FpPρC例等熵流动的均质气体是正压流体,pC1FpP例密度是常数的均质不可压缩流体是正压流体,例大气层中的空气不是正压流体，因为在大气层中空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关。例考虑到温度、盐含量对密度的影响，海水不是正压流体。pρPF11111dd111FpccpPpcppppdFpPp1ppρ11ppρ为了证明开尔文定理，首先推导一个运动学公式。考察一条封闭的流体线L，沿该封闭线速度环量为dLΓsv流体线由流体质点构成，当流体质点发生运动，流体线的位置、形状和长度都会产生变化。为了研究沿流体线的速度环量随时间的变化，先研究沿流体线上一个微段的速度积分对时间的变化率。由矢量相加的运算法则得到t时刻：dst+t时刻：ds1ddttssvvddsv1dddΓtssvvvv设0点速度矢量为v，0点速度矢量为v，沿ds的切向速度积分是沿ds的切向速度积分是1002dddddlimlimdΔdddddddd2tttttttVttsssvvvvvvvvv2dddddddddddd2LLLVttttsvdddddLttsvd对时间的变化率为沿整条曲线L的速度环量对时间的变化率为沿封闭流体线速度环量对时间的变化率等于加速度环量。=01ddΓtsvvvddΓsv理想、正压流体在有势质量力作用下，沿任意封闭流体线的速度环量不随时间变化。证明理想流体的运动方程为d1dptfvFPpρ1Πf对于正压流体：对于有势质量力：ddFPtvddddd0ddFFLLLPPttssv定理得证开尔文(汤姆森)定理由斯托克斯定理，沿封闭流体线的速度环量等于流体线所围曲面面积上的旋涡强度。既然速度环量不随时间变化，旋涡强度也不会随时间变化。如果在某一时刻流动无旋，则任意流体面上的旋涡强度都等于零，在推论条件下，旋涡强度不随时间变化，因此在此前和此后的所有时刻旋涡强度也必定为零，所以流动也是无旋的。推论理想、正压流体在有势质量力的作用下，只要在某一时刻流动无旋，在此前和此后的所有时刻流动也必定无旋。如果流动是由静止状态启动的，它将始终无旋。开尔文爵士(LordKelvin,1824-1907)1824年生于爱尔兰的贝尔法斯特，原名威廉.汤姆森(WilliamThomson)，1845年毕业于剑桥大学，1846年起任格拉斯哥大学物理学教授，因在装设大西洋海底电缆中的突出贡献，1892年被封为开尔文爵士。开尔文在热学、电磁学、流体力学、光学、地球物理、数学、工程应用等方面都做出过杰出贡献，一生发表论文600余篇，取得发明专利70余种，其中在热学和电磁学等方面取得的成就尤为出色，热力学温度(K)使用了他的名字命名。流体具有粘性，流体是非正压的和非有势质量力的作用是产生旋涡运动的原因。流体粘性生成旋涡的例子当流体流经物面时形成边界层，边界层是很薄的旋涡层。速度的间断面会产生旋涡。3．旋涡运动的生成流体非正压生成旋涡的例子大气层中的空气及海洋中的海水都是非正压流体。海陆风、季风、赤道地区的贸易风是大气层中空气非正压所产生的旋涡运动；海洋环流是海水非正压所产生的旋涡运动。非有势质量力生成旋涡的例子拔掉澡盆的塞子会出现逆时针方向旋转的涡；北半球逆时针方向旋转的台风和龙卷风；地球自转的科氏力会在大气层中生成气旋。在大量流体力学问题中，流体可以被当成是不可压缩的或者是等熵的，也就是正压的；除了大气层和海洋中的大尺度流动外，大多数情况下只需要考虑重力而不必考虑地球自转的科氏力的作用，所以质量力是有势的；再如果流体的粘性影响又能够被忽略，那么就可以认为开尔文定理成立的三个条件得到了满足。所以说，开尔文定理的适用范围是很大的。无旋流动理论可以被用于分析相当广泛的一类流动问题。开尔文定理为无旋流动理论的应用提供了依据。