1.3.3函数的最大(小)值与导数1

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数复习一、函数单调性与导数关系yxaobyfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bf极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值(极值即峰谷处的值）.极小值f(a)复习二、函数的极值定义(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；——如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；复习三、用导数法求解函数极值的步骤：4复习四、知识回顾最值问题一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1．最大值（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值52．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值新课导入观察下图，点a与点b处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？ab)(bf)(af观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比其他点的函数值都大．b点的函数值f(b)比其他点的函数值都小．在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.导数在研究函数中的应用二、新课—最大值与最小值观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中，____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x2)f(b)f(x1)xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6f(x3)f(x5)f(x4)f(x6)f(a)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？探究你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值﹑最小值吗？从图3.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是.3fxxfyabxyoa1x2x3xo4x5xbxyxfy143.3图153.3图在上图中，观察[a,b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a,b]上是否有最大值﹑最小值？如果有，分别是多少？一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6),(bax］［bax,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在[a,b]上的最值？一般的如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.'21233,3fxxx解：1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。3()61233fxxx例1:求函数在，上的最大值与最小值.'0,22fxxx令解得：或(2)22(2)10(3)15,(3)3ffff又，，3()6123310.fxxx函数在，上的最大值为22，最小值为题型：求函数的最大值和最小值求函数在[0,3]上的最大值与最小值.31fx=x-4x+4342.33:4,0,3,x=2,fx=1x-4x+43f解由例可知在上当时f0=4,f3=1,又由于因此，函数f(x)在[0,3]上的最大值是4，最小值是.43有极小值，并且极小值为oxy234x4x31xf3163.1图上述结论可从函数f(x)在[0,3]上的图像得到直观的验证.求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值..解:f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2.x1（1，2）2（2，5）50y-+3112'y故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为.求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.动动手解:.443xxy令,解得x=-1,0,1.0y当x变化时,的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.练一练：函数y=x³+3x²－9x在[－4,4]上的最大值为,最小值为.分析:由f´(x)=3x²+6x－9=0,所以，区间[－4,4]端点处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76得x1=－3，x2=1函数值为f(－3)=27,f(1)=－576-5当x变化时，y′、y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5例5求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最值。故函数f(x)在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1.解:f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x-1（-1，2）2（2，4）4y，0y-+83-1例5、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值另解:将二次函数f(x)=x2-4x+3配方，利用二次函数单调性处理1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能课堂练习DA3.函数，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.432111432yxxx1312A求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。4,2,71862)()1(23xxxxxf练习最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61解:.cos21)(xxf当x变化时,的变化情况如下表:yy,从上表可知,最大值是∏,最小值是0..]2,0[sin21y2上的最大值与最小值在区间、求函数xx令,解得0)(xf.34,3221xxx0f(x))(xf)32,0()34,32(3234)2,34(2+-+0002332332的取值范围。三个交点，求函数的图像有相异与、直线axxxfay3)()3(3。的图像有三个相异交点与时，所以当是极小值是极大值，，可得单调区间和极值点及由解：xxyayaffxfxfxxxxf3222)1(2)1(0)(0)()1)(1(333)(32解：23)(2/xxxf，由0)(/xf得0232xx，即32x或1x；由0)(/xf得0232xx即132x，所以函数单调增区间是)32,(，),1(；函数的单调减区间是)1,32(。由mxf)(恒成立，的取值范围。恒成立，求实数时，，当、设mmxfxxxxxf0)(]2,2[5221)(423m大于)(xf的最大值。当[2,2]x时，(1)当2[2,]3x时，)(xf为增函数，所以27157)32()(maxfxf；(2)当]1,32[x时，)(xf为减函数，所以27157)32()(maxfxf；(3)当]2,1[x时，)(xf为增函数，所以7)2()(maxfxf；因为271577，从而7m2020年1月19日3时4分372、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为()A.-4B.0C.16D.20C练习2020年1月19日3时4分384153.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于（）A.B.C.D.或2321212321※典型例题322()2622371a2()22fxxxafx例题：已知函数在，上有最小值求实数的值；求在，上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。21()612fxxx解:(）()002fxxx令解得或(240,fa又）40373aa由已知得解得(2)(1)()2,2fx由知在的最大值为3.(0),fa(2)8fa21x402fxx3讨论函数（）=4x在，的最值情况。※动手试试2'()1281(21)(61)fxxxxx1()()6fxf最大值没有最小值应用(2009年天津（文）21T)处的切线的斜率；设函数其中,131223Rxxmxxxf.0m（1）当时，求曲线在点1mxfy1,1f（2）求函数的单调区间与极值。xf答:（1）斜率为1;.1,1,1,1内是增函数减函数，在内是，在mmmmxf;313223mmxf极小313223mmxf极大(2)（04浙江文21）（本题满分12分）已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。))(4()(2axxxf)(xf0)1(f)(xf)(xf2'()324fxxax12amaxmin9450(1),()2327ffff2'()32402,2]fxxax两个根在[22a2020年1月19日3时4分43知识要点：.函数的最大与最小值⑴设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大最小值,可分两步进行:①求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。⑵若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。小结（1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题.极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.