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第三章概率第三章3．3几何概型第三章3．3.2均匀随机数的产生课前自主预习思路方法技巧基础巩固训练能力强化提升课前自主预习温故知新1．下列命题正确的是()A．几何概型中每个事件发生的概率只与构成该事件的区域长度(面积或体积)成比例，而与事件所在区域的位置无关B．古典概型和几何概型都可以求可能结果的总数为有限的或无限的事件的概率C．用随机模拟方法求得事件的概率是精确的D．用几何概型概率计算公式求出的值是近似值[答案]A成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3第三章3.33.3.2科目一考试场地考试科目三考试安全文明驾驶常识考试2016年驾驶员试题网学车试题大全2．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14[答案]C3．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23.则阴影区域的面积为()A.43B.83C.23D．无法计算[答案]B4．如图所示，在地面上放置着一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A.12B.18C.14D．1[答案]A[解析]玻璃球丢落在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，也是等可能的，并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的，因此该问题是几何概型．由于A区域占整个圆形区域面积的48，所以玻璃球落入A区域的概率为12.新课引入假设小明、小倩和小珍所在的班级共有65名学生，并且这65名学生早晨到校先后的可能性是相同的，求下列事件的概率：(1)小倩比小珍先到校；(2)小倩比小珍先到校，小珍比小明先到校．如何用设计事件模拟试验的方法估计上述事件的概率呢？这就是我们本节课要学习的内容．自主预习阅读教材P137－140，回答下列问题：1．均匀随机数(1)定义如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．(2)特征①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性．(3)产生方法：方法一，利用几何概型产生；方法二，用转盘产生；方法三，用或产生．(4)应用：利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计________的概率．相等计算器计算机下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是()A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果B．旋转的次数越多，估计的结果越精确C．旋转时可以按规律旋转D．转盘的半径越大，估计的结果越精确[答案]C2．[0,1]上均匀随机数的产生(1)利用计算器产生0～1之间的均匀随机数(2)利用计算机产生Excel中用“rand()”函数来产生[0,1]区间上的均匀随机数，每调用一次“rand()”函数，就产生一个随机数．3．[a，b]上均匀随机数的产生(1)计算器不能直接产生区间[a，b]上的均匀随机数，只能利用线性变换产生．如果x是区间[0,1]上的均匀随机数，则a＋(b－a)x就是[a，b]上的均匀随机数；(2)利用计算机Excel中的随机函数“rand()*(b－a)＋a”得到．下列关于随机数的说法：①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；③计算器只能产生均匀随机数；④我们通过命令rand()*(b－a)＋a来得到两个整数值之间的随机数．其中正确的是________．[答案]④[解析]题号判断原因分析①×计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等②×计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到③×计算器可以产生整数值随机数④√显然正确规纳总结：随机数的产生还可以通过人工操作．例如：抽签、摸球、转盘等方面，但这样做费时费力，用计算机可产生大量的随机数，又可以自动统计试验结果，同时可以在短时间内多次重复试验，方便快捷．因此，我们现在主要是通过计算器或计算机来产生随机数．思路方法技巧学法指导用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；(2)经过伸缩变换y＝(b－a)x＋a，得到一组[a，b]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1；用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率(4)计算频率fn(A)＝N1N，即为所求概率的近似值．[特别提醒]用随机模拟的方法估计事件的概率，首先要确定所求的几何概型与哪个量有关系，然后产生相应的随机数，并严格按照实验步骤进行．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．[分析]正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段上取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．[解析]步骤：(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝12a1得到[0,12]内的均匀随机数．(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数的个数N1.(4)计算频率N1N.记事件A＝{面积介于36cm2与81cm2之间}＝{边长介于6cm与9cm之间}，则P(A)的近似值为N1N.规纳总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率．[分析]在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于1m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件发生的频率．[解析]解法1：设“剪得两段长都不小于1m”为事件A.(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝3a1.(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.(4)计算频率fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．规纳总结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.学法指导用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系：(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；用随机模拟方法估计面积型几何概型的概率(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．解放军某部进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16m，宽为14m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1m、2m、5m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率，[分析]本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．[解析]设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算杌产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND,b1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8,6＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8a8，－7b7的点(a，b)的个数N.满足1a2＋b24的点(a，b)的个数N1.(4)计算频率fn(A)＝N1N即为所求概率的近似值．在本例中，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率．[分析]可用点的个数比来求概率，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故可产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．[解析]设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8a8，－7b7的点(a，b)的个数N.满足a2＋b225的点(a，b)的个数N1.(4)计算频率fn(A)＝N1N即为所求概率的近似值.学法指导用随机模拟法近似计算不规则图形的面积方法揭秘：(1)用随机模拟试验估计不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．利用随机模拟试验估计不规则图形的面积(2)解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值．(3)对于较复杂的问题通常需要设计一个图形，使其面积与某个常数有关，进而就可以设计一个概率模型，然后设计适当的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值．[特别提醒]解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确的计算概率.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．[分析]在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．[解析]步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数．(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b2a的点(a，b)的个数]．(4)计算频率N1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝S4，则N1N＝S4.故S＝4N1N，即阴影部分面积的近似值为4N1N.规纳总结：利用随机模拟方法估计图形面积的步骤是：①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示；②利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝NAN；③设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有SS′＝N1N，解得S＝N1NS′，则所求图形面积的近似值为N1NS′.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．[分析]解答本题可先计算与之相应的规则图形的面积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分