1.3_傅立叶变换的性质 (2)

1第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质§1.3傅里叶变换的性质三、利用Matlab实现Fourier变换一、基本性质二、卷积与卷积定理*2第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质一、基本性质且所涉及到的函数的Fourier)(F)(G.])([tg在下面给出的基本性质中，,])([tf变换均存在，1.线性性质设a,b为常数，则性质对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。直接进入基本性质汇总？证明(略)[()()]ftgt()()FG[()()]FG-1()()ftgt3第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质00,t(时移性质)(频移性质)---xxftjxjd)(0ee;)(0eFtj-(2)同理，可得到频移性质。;)(])([0e0Fttftj--(1).)()]([0e01tfFtj--(2)证明----tttfttftjd)(])([e00(1)0ttx-令4第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中的大小不发生改变，但相位发生变化；得到了广泛应用。一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质;)(])([0e0Fttftj--00,t.)()]([0e01tfFtj--(时移性质)(频移性质)(1)(2)5第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质--xxfaxajd)(1e--ttaftaftjd)(])([etax令;1aFa证明(1)当时，0a(2)当时，0a同理可得.1])([-aFataf性质一、基本性质3.相似性质6第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质相似性质表明，事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(P16例1.6)已知，脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽;脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩则其频谱被扩展；,)1(a若信号被扩展则其频谱被压缩。,)1(a性质一、基本性质3.相似性质7第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和在电信通讯中，为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；频带宽度是不可能的。性质一、基本性质3.相似性质8第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质一、基本性质4.微分性质若则lim()0,tft性质.)(])([Fjtf证明lim()0,tft由有lim()0,jttfte---ttftftjd)(])([e----ttfjtftjtjd)()(ee.)(Fj9第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质()1()()()d.2nnjtftjFe-一般地，若()lim()0,(0,1,2,,1),ktftkn-则.)()(])([)(Fjtfnn记忆1()()d,2jtftFe-由1()()d;2jtftjFe-一、基本性质4.微分性质若则lim()0,tft性质.)(])([Fjtf10第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质记忆,d)()(e--ttfFtj由;d)()()(e---ttftjFtj.d)()()(e)(---ttftjFtjnn)(tftn上式可用来求的Fourier变换．一、基本性质4.微分性质同理，可得到象函数的导数公式11第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质证明令,d)()(-tttftg则lim()0,tgt由微分性质有,)(])([Gjtg又,)()(tftg,])([])([tgjtf有.)(1d)(][Fjttft-即得性质一、基本性质5.积分性质12第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质一、基本性质6.帕塞瓦尔(Parseval)等式.d|)(|21d)(22--Fπttf证明由,d)()(e--ttfFtj有,d)()(e-ttfFtj--dd)()(21]e[ttfFπtj-d)()(21FFπ右边--tFπtftjdd)(21)(]e[-ttfd)(2=左边.13第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质一、基本性质(汇总)线性性质.)()(])()([GbFatgbtfa.||1])([aFataf相似性质位移性质;)(])([0e0Fttftj--.)()]([0e01tfFtj--(时移性质)(频移性质)14第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质一、基本性质(汇总)Parseval等式.d|)(|21d)(22--Fπttf.)(1d)(][Fjttft-积分性质微分性质.)()(])([)(1tftjFnn--;)()(])([)(Fjtfnn(直接进入Parseval等式举例?)15第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质-dsin422.4d12112πtπ-,1||,0,1||,1)(tttf解设矩形脉冲函数由于被积函数为偶函数，,sin2)(F已知的傅氏变换为)(tf由Parserval等式有.d)(2d|)(|22--ttfπF.2dsin022π故有16第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质例设求0()()2cos,ftHtt.)]([tf.)]()([200220--πj解已知[()]Ht,)(1πj根据线性性质和频移性质有)]([tf000011()()()()ππjj--00()()(),jtjtftHtee-又17第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质.4||,0,4||,2/1解根据相似性质有)(G])([tg])2([tf221FP33例1.13修改例已知抽样信号的傅氏变换为1,||2()0,||2,F()(2)gtftsin2()tftt的傅氏变换求信号().G18第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质设求,cos)(2tttf例.)]([tf根据微分性质,)()(])([21tgtjG--有解令则,cos)(ttg,)()(2tgttf又已知,)1()1(]cos[-ππt)(G)]([tf])([2tgt)(G-.)1()1(---ππ19第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质即二、卷积与卷积定理广义积分对任何实数t都收敛，d)()(21--tff函数为与的卷积，记为)(1tf)(2tf,)()(21tftf)()(21tftf.d)()(21--tff1.卷积的概念与运算性质(叠加积分、互相关函数、(加权)连续平均）设函数与在区间上有定义，)(1tf)(2tf),(-定义如果它在上定义了一个自变量为t的函数，),(-则称此P35定义120第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质二、卷积与卷积定理1.卷积的概念与运算性质性质(1)交换律)()(21tftf.)()(12tftf)]()([)(321tftftf.)()]()([321tftftf(2)结合律)]()([)(321tftftf.)()()()(3121tftftftf(3)分配律P20121第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质P36例1.15修改)()(tgtf,d)()(--tgf解(1)当时，0t.0)()(tgtf)(f)(g)(f)(-tgt)(-g(2)当时，0t)()(tgtfd)()(0-ttgfd0)(ee---tt.ee----t()().ftgt求()(),()(),0,0.ttfteHtgteHt--设其中且例22第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质将函数反褶并平移，得到)(g,))(()(tgtg---从上面的例子可以看出(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。因此，卷积又称为褶积或卷乘。(1)在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数的关键。再与函数相乘后求积分，()f得到卷积.)()(tgtf的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。即首先23第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质)()(tgtfd)()(--tgf.d)()(--tfg(1)当时，1t解由卷积的定义及性质有.0)()(tgtf)(f)(-tf221)(gt221)(g例求函数22,12()(),().0,tfttHtgt的卷积其它24第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质221)(gt)(-tf(2)当时，21t)()(tgtfd)(212-tt.)1(323-t)()(tgtfd)()(--tgf.d)()(--tfg解由卷积的定义及性质有)(f221)(g例求函数22,12()(),().0,tfttHtgt的卷积其它25第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质221)(g)(-tft(3)当时，2t)()(tgtfd)(2212-t.)2()1(32][33---tt)()(tgtfd)()(--tgf.d)()(--tfg解由卷积的定义及性质有)(f221)(g例求函数22,12()(),().0,tfttHtgt的卷积其它26第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质综合得)()(tgtf----.2,3/)2()1(2,21,3/)1(2,1,0][333tttttt)()(tgtfd)()(--tgf.d)()(--tfg解由卷积的定义及性质有)(f221)(g例求函数22,12()(),().0,tfttHtgt的卷积其它27第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质证明])()([21tftf--ttftftjd)()(e21----ttfftjdd)()(e][21------dd)()(]e[e)(21ttfftjj;)()(21FF同理可证(B)式。二、卷积与卷积定理2.卷积定理P3731第一章傅里叶变换§1.3傅里叶变换的性质＊(2)本例的结论被用来获取或者检测系统的冲激响应函数。解方法一根据卷积定理有])()([)()(1DHtth-)()(tthd)()(--th.)(th方法二已知的Fourier变换为)(t,1])([)(tD令,])([)(thH])([1H-.)(th注(1)一般地，有.)()()(00tthtt