2019年高考真题分类汇编——统计与概率

-1-2019年普通高等学校招生全国统一考试试题分类汇编———统计与概率6.（全国卷Ⅰ理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.1116答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C种，所以36620526416CP.15.（全国卷Ⅰ理15）甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.答案：0.18解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18CC.21．（全国卷Ⅰ理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X．-2-（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,,7)i，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5，0.8．（i）证明：1{}(0,1,2,,7)iippi为等比数列；（ii）求4p，并根据4p的值解释这种实验方案的合理性．答案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)PX；得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)PX；得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)PX．则X的分布列为：（2）（i）因为0.5，0.8，则(1)0.4aPX，(0)0.5bPX，(1)0.1cPX．可得110.40.50.1iiiipppp，则110.50.40.1iiippp，则110.4()0.1()iiiipppp，则114iiiipppp，所以1{}(0,1,2,,7)iippi为等比数列．（ii）1{}(0,1,2,,7)iippi的首项为101ppp，那么可得：78714ppp，67614ppp，-3-………………2114ppp，以上7个式子相加，得到76811(444)ppp，则886781111441(1444)143pppp，则18341p，再把后面三个式子相加，得23411(444)ppp，则4423411844141311(1444)334141257ppp．4p表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5，0.8，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p的确非常小，说明这种实验方案是合理的．6.（全国卷Ⅰ文6）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）.A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生答案：C解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为106(099,)nnnN，可得出616号学生被抽到.17.（全国卷Ⅰ文17）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()nadbcabcdacbd2()Pk0.0500.0100.001-4-k3.8416.63510.828答案：(1)男顾客的的满意概率为404505P女顾客的的满意概率为303505P(2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.解答：(1)男顾客的的满意概率为404505P女顾客的的满意概率为303505P.(2)22100(40201030)4.762(4010)(3020)(4030)(1020)4.7623.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.5.（全国卷Ⅱ理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案：A解答：由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为a，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是a，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。13.（全国卷Ⅱ理13）我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案：0.98解答：经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为100.97200.98100.990.9840P。18.（全国卷Ⅱ理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求(2)PX；(2)求事件“4X且甲获胜”的概率.答案：（1）0.5；（2）0.06-5-解析：(1)2X时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时10.50.40.2P；②乙连赢两局结束比赛，此时20.50.60.3P，∴12(2)0.5PXPP；(2)4X且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，此时0.50.60.50.40.06P.4.（全国卷Ⅱ文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.23B.35C.25D.15答案：B解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A、B则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A(1,2,)B(1,3,)A(1,3,)B(1,,)AB2,3,2,3,2,,3,,ABABAB,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.14.（全国卷Ⅱ文14）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案：0.98解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840.19.（全国卷Ⅱ文19）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；-6-（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：748.602.答案：详见解析解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100，这类企业中产值负增长的企业比例是2100.（2）这类企业产值增长率的平均数是0.1020.10240.30530.50140.7071000.30这类企业产值增长率的方差是222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296所以这类企业产值增长率的标准差是220.0296748.6020.172040.17100100.3.（全国卷Ⅲ理3文4）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.5.0B.6.0C.7.0D.8.0答案：C解答：7.010060809017.（全国卷Ⅲ理17文17）为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成BA,两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：-7-记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到)(CP的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中ba,的值；（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.答案：见解析解答:（1）依题意得12.015.015.005.07.015.02.0aba，解得1.035.0ba.（2）05.4705.061.052.043.032.0215.07.5815.072.063.0515.041.0305.0得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.17.（北京卷理17）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1