第二章 光纤传输基本理论

1第二章光纤传输基本理论2.1电磁场理论基础错误!未定义书签。2.1.1电磁场基本方程.............................................................................................................12.1.2电磁场边界条件.............................................................................................................22.1.3波动方程和亥姆霍兹方程.............................................................................................22.1.4均匀平面电磁波和偏振状态.........................................................................................32.1.5平面波的反射和折射.....................................................................................................52.2电磁场理论的短波长极限――几何光学理论........................................................................62.2.1*几何光学的基本方程――程函方程(补充内容)........................................................62.2.2光线传播的路径方程.....................................................................................................72.3光纤中光信号传输的几何光学解释......................................................................................82.3.1阶跃光纤中光线的传播.................................................................................................82.3.2梯度光线中的光线的传播...........................................................................................112.4阶跃式光纤中的模式理论....................................................................................................132.4.1阶跃式光纤中的矢量模...............................................................................................132.4.4传播模的色散曲线.......................................................................................................242.4.5导波模的场形图...........................................................................................................252.5阶跃光纤中的标量解..............................................................................................................252.5.1线偏振模场解...............................................................................................................262.5.2线偏振模的特征方程及截止参数...............................................................................282.5.3LPmn模与矢量模之间的对应关系............................................................................302.5.4LPmn模的场分布及功率分布.......................................................................................302.6传播模式的一般特性..............................................................................................................322.6.1传播模式数量...............................................................................................................322.6.2*渐变折射率光纤的理论分析（补充内容）.............................................................322.6.3*理想波导中模式的正交性和完备性.........................................................................352.6.4*非理想波导中模式的耦合.........................................................................................35第二章光纤传输基本理论2.1.1电磁场基本方程宏观电磁现象可以用电场强度E，电位移矢量D，磁场强度矢量H，磁感应强度矢量B四个矢量描述，它们都是空间位置和时间的函数。这四个场矢量之间的关系由麦克斯韦方程组描述，即：式中J是介质中的传导电流密度，ρ是自由电荷密度。为了从麦克斯韦方程组完全确定电磁场量，还需要另外一个方程，即：物质特性方程。式中P称为介质的极化强度矢量，M称为磁化强度矢量，σ是介质的电导率，对良导体可以认为是近似为0，对于非磁性介质M=0，从而有：HB电DBtBEtDJH0MHBPEDEJ002极化强度P可以写为：...)()3()2()1(0＋＋：EEEEEEP如果只有第一项，则介质是线性介质，否则是非线性的。对各项同性介质：它可以用个标量x来表示，从而得到：EP0EEDr00)1(一般来讲，所有的场量都是空间变量和时间的任意函数，一个时空函数可以用傅立叶分析方法写成：dttjtzyxzyxdtjzyxtzyx)exp(),,,(21),,,()exp(),,,(),,,(在电介质中，电流密度和电荷密度都为零，于是频域中的麦克斯韦方程组可以写成：0D0HHjEEjHr002.1.2电磁场边界条件麦克斯韦方程组描述了电磁参数ε，μ为位置坐标的连续函数的介质中电磁场量的基本规律。如果介质的电磁参数发生突变，则以微分方程形式出现的麦克斯韦方程将不再适用，此时需将方程改写成它的积分形式，即：VSSlSlSSdVdSDdSBdStBdlEdStDdSJdlH0由此可得，电磁场矢量的边界条件：0)()()(0)(21212121EEnJHHnDDnBBnSS2.1.3波动方程和亥姆霍兹方程（1）均匀的各项同性线性介质在各项同性均匀介质的线性电介质中，可根据麦克斯韦方程得到方程：000000)1(300222222222222tHcnHtEcnE上式即为线性、均匀、各向同性介质中的波动方程。其矢量波动方程可以写成：002202202220200kHnkHEnkE在直角坐标系中，E、H的x、y、z分量均满足标量的亥姆霍兹方程：02202nk式中，（2）非均匀的各项同性线性介质由于存在：0)(0022022202000HHnkHEEnkEEEEEEDrrrrrrrrr）（因此可以得到：可得：式中n2=εr是位置的函数，如果介质的折射率或相对介电常数位置的变化较为缓慢，即满足条件1rr，则这种介质为缓变介质，于是上式方程可以变为：0022022202HnkHEnkE注意：此式虽然和均匀介质中的波动方程形式一样，但却有重要区别，即该式中的折射率是空间位置的函数，因而对其求解更加困难。2.1.4均匀平面电磁波和偏振状态1）平面波与导波平面波：在均匀无限大的各向同性线性介质中传播的电磁波等相位面是平面，因此称为平面波。沿z方向传播的平面波电场和磁场矢量振动方向是相互垂直。正弦变化的平面波可以表示如4下：00ˆ(,)exp()ˆ(,)exp()xyEzteAjtkzHzteBjtkz如图所示，式中的光波频率为，k是传播常数（也称波数）在相对介电常数为r的线性介质中传播的正弦变化的单色平面波相位传播速度为：ncckrr001其中c为光速，n为介质的折射率。在实际中应用的电磁波往往不是单色，而是由许多频率分量组成的电磁波。那么，不同频率的正弦电磁波合成后是什么波形呢？让我们考虑频率为与,波数为kk与kk组成的合成电磁波。如图2.5所示合成波为平均频率为的幅度随和k变化的包络，波包络幅度变化的速度称为群速。由于信号调制在载波上形成波包，所以群速表示信号或能量的传播的速度。群速度定义为：dkdg。频率为与,波数为kk与kk的两个电磁波的合成电磁波为：000(,)cos[()()]cos[()()]2cos[()()]cos()xEztEtkkzEtkkzEtkztkz导波5光纤、金属波导和平板介质波导等将电磁波限制在沿传播轴垂直的截面上，并沿纵向传输轴传播的波称为导波。传播导波的元件称为波导，介质光波导的导波区域折射率大于周围媒质的折射率。无论是金属波导还是介质波导传播的光波可存在各种传导模式（导模），在介质波导中还存在辐射模和泄漏模。求解波动方程，可知波导中传播的导行电磁波由各个导模的线性迭加组成：1(,)exp[()]niiiEztAjtz式中Ai是第i个模式的幅度，βi是第i个模式的传播常数。各个模式在波导横截面的电场（磁场）分布不相同，在相同的频率下，传播常数βi也不相同，各个模式能量传播的速度也不同。光纤是圆柱形的介质波导，对一定的光纤结构（纤