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第4章根轨迹法教学提示：根轨迹法所要解决的问题，仍是系统控制过程的性能分析和计算。由于高阶系统特征根的求解比较困难，限制了时域分析法在二阶以上控制系统中的应用。伊文思(W.R.Evans)提出了直接由开环传递函数判别闭环特征根的图解法，从而很好地解决了高阶系统的性能分析问题，这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。4.1根轨迹与根轨迹方程4.1.1根轨迹系统开环传递函数的某一参数从0→变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，称为根轨迹。一般取开环增益K为可变参数。以图4.1所示系统为例，介绍根轨迹的概念。图4.1二阶单位反馈系统系统闭环传递函数为2()()()(0.51)0.5CsKKs=RsssssK则闭环特征方程0.5s2+s+K=0的特征根为s1=-1+12K×s2=-1-12K-下面寻找开环增益K从0→变化时，闭环特征根s1,2在s平面上移动的轨迹。当K=0时，s1=0，s2=-2当K=0.5时，s1=-1，s2=-1当K=1时，s1=-1+j，s2=-1-j当K→时，s1=-1+j，s2=-1-j将以上计算结果标注在s平面上，并用平滑曲线将其连接起来，便得到K从0→变化时闭环特征根s1,2在s平面上移动的轨迹。如图4.2所示粗实线，即为该系统的根轨迹。箭头表示K值增加时，根轨迹的变化趋势。图4.2二阶系统根轨迹自动控制原理与应用·72··72·根轨迹图直观反映了参数K与特征根的分布关系，由此可得如下分析结果。(1)开环增益K从0→变化时，根轨迹均在s平面左侧，故闭环系统对所有K大于零的值都是稳定的。(2)0K0.5，闭环特征根为两不等实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应无超调，具有非周期性；K=0.5，系统呈临界阻尼状态；K0.5，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应具有振荡衰减特性。K=1，系统处于最佳阻尼状态。(3)K越大，共轭复根离实轴越远。分析表明，绘制出根轨迹，就能把握系统的特性。但用解析法逐点描绘系统的根轨迹对高阶系统是不现实的。根轨迹法是利用反馈系统中开、闭环之间的关系，由开环传递函数直接寻求闭环根轨迹的总体规律的方法。4.1.2根轨迹方程既然根轨迹是闭环特征根随参数K变化的轨迹，那么描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。控制系统的一般结构图如图4.3所示，系统的闭环传递函数为()()1()()GssGsHs(4-1)式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。图4.3系统的一般结构图开环传递函数分子、分母多项式方程根的因式可表示为*11()()()()imjjniKszGsHssp(m≤n)(4-2)式(4-1)称为开环传递函数的零、极点表达式。式中zj是分子多项式的根，又称开环零点(在s平面内用“○”表示)；pi是分母多项式的根，又称开环极点(在s平面内用“×”表示)；*K称做根轨迹增益(系统开环传递函数中将分子、分母s多项式最高阶阶系数换算为1后的总传递系数)，与开环增益K成正比。将式(4-2)代入式(4-1)，可得*11*111()()()()()()()()jmnijinmnijiijiKszGsspsmnspKszss≤(4-3)式(4-3)称为闭环传递函数的零、极点表达式。式中zφj称闭环传递函数的零点；si称闭第4章根轨迹法·73··73·环传递函数极点；*K称做闭环根轨迹增益。所有根轨迹上的点都必须满足特征方程*11()()0inmjijspKsz(4-4)可变换为*11()=1()mjjniiKszsp(4-5)即G(s)H(s)=-1(4-6)所以，根轨迹上的点都满足式(4-5)、式(4-6)，被称为根轨迹方程。系统的闭环特征方程为1+G(s)H(s)=0式(4-5)也可用幅值、相角的形式表示，称为模方程和相方程。*11()|()()|=1()imjjniKszGsHssp(4-7)11()()(21)imnjjiszspK∠∠(4-8)式中：K=0、±1、±2、…从这两个方程可以看出，模方程和增益*K有关，而相方程和增益*K无关。所以s平面上的某个点只要满足相方程，则该点必在根轨迹上。因此，相方程是决定s平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件。4.2绘制根轨迹的基本法则讨论以下根轨迹绘制的基本法则必须满足两个条件：①系统为负反馈系统；②开环增益K从0→变化时系统的根轨迹(其他参数变化，经适当变换才可用基本法则)。有了根轨迹的基本法则，可根据已知的开环传递函数的零、极点，直接绘制系统的根轨迹。4.2.1根轨迹的个数n阶系统有n条根轨迹(法则一)。n阶系统的特征方程有n个特征根，当开环增益K从0→变化时，n个特征根随着变化，在s平面上出现n条根轨迹。4.2.2根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴(法则二)。闭环极点若为实数，则位于s平面实轴上；若为复数，则自动控制原理与应用·74··74·共轭出现，所以S平面上的根轨迹必然对称于实轴。4.2.3根轨迹的起点和终点根轨迹起于开环极点，终于开环零点及无穷远(其中m条终于开环零点，n-m条终于无穷远)(法则三)。根轨迹的起点是对应于系统参数K=0时，特征根在s平面上的位置；终点则是对应于系统参数K→时特征根在s平面上的位置。4.2.4实轴上的根轨迹实轴上根轨迹所在区段的右侧，开环零、极点数目之和为奇数(法则四)，即实轴上某些开区间的右侧，开环零、极点个数之和为奇数，则该段实轴必为根轨迹。通过此法则，可以很快确定在s平面的实轴上哪些区段有根轨迹。【例4.1】某负反馈系统的开环传递函数为2(1)()()(2)(5)(10)KsGsHsssss试绘制实轴上的根轨迹。解：(1)5阶系统有5条根轨迹；(2)根轨迹必对称于实轴；(3)系统开环极点为：1p=2p=0，3p=-2，4p=-5，5p=-10；开环零点为：1z=-1。5条根轨迹分别起于1p、2p、3p、4p、5p，终于1z及无穷远；(4)区间[－2，－1]右侧开环零、极点个数之和为3，区间[-10，-5]右侧开环零、极点个数之和为5，故实轴上的根轨迹在上述两区间，如图4.4所示。图4.4例4.1实轴上的根轨迹4.2.5根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线的方位(法则五)。如果系统开环零点数m小于开环极点数n，则趋于无穷远的应有nm条，这些趋于无穷远的根轨迹的方位，由渐近线的两个参数——渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点来确定。(1)渐近线的倾角：是指渐近线与实轴正方向的夹角(用aφ表示)。a(21)0121kφknmnm、、、…、--(4-9)(2)渐近线与实轴的交点(用a表示)。第4章根轨迹法·75··75·11ainmjijpznm(4-10)【例4.2】某单位负反馈系统的开环传递函数为*()(1)(5)KGssss试求根轨迹趋于无穷远的渐近线。解：(1)3阶系统有3条根轨迹；(2)根轨迹必对称于实轴；(3)系统开环极点为：1p=0，2p=-1，3p=-5，没有开环零点；n=3，m=0，n-m=3，应有3条渐近线，3条根轨迹分别起于1p、2p、3p，终于无穷远；(4)区间[-1，0]，[-，-5]为实轴上的根轨迹段，如图4.5所示；图4.5例4.2根轨迹渐近线(5)渐近线的方位：a=03(21)(21)=133=1kkkφknmk-11a0(1)(5)23nmjiijpznm实轴上的根轨迹及3条渐近线如图4.4所示，将平面分成3等份。4.2.6起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角(法则六)。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角，如图4.6中的1p；根轨迹终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。自动控制原理与应用·76··76·在图4.6所示的根轨迹上，靠近起点p1取一点s1，根轨迹的相方程有∠(s1－z1)－∠(s1－p1)－∠(s1－p2)－∠(s1－p3)=(2k+1)图4.6根轨迹起始角当s1无限靠近1p时，则各开环零点、极点引向s1的向量，就变成各开环零点、极点引向1p的向量，这时∠(s1-1p)即为起始角1p，故1p=(2k+1)+∠(p1-z1)-∠(12pp)-∠(13pp)(4-11)将上面的分析加以推广，可得计算某开环极点kp处起始角的公式11(21)()()kmnpjikkj=i=kkpzpp∠∠(4-12)同理可得计算某开环零点kz处终止角的公式=1=1k(21)()()knmzkjkiijkzpzz∠∠(4-13)4.2.7分离点d根轨迹分离点d的求取(法则七)。两条或两条以上的根轨迹分支，在s平面上相遇后又分开的点称作根轨迹的分离点或会合点，用d表示，如图4.2中的-1点。一般情况下，实轴上两相邻开环极点之间，至少存在一个分离点；同样，实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零点位于无穷远)，也至少存在一个分离点。分离点d可用公式(4-14)求得1111nmjijidpdz(4-14)式(4-14)证明略。【例4.3】某负反馈系统的开环传递函数为*2(1)()()33.25KsGsHsss试求根系统根轨迹的分离点，并绘制根轨迹。解：(1)二阶系统有两条根轨迹；(2)根轨迹必对称于实轴；第4章根轨迹法·77··77·(3)系统开环极点由s2+3s+3.25=0解得：1,2p=-1.5±j；开环零点z1=-1。两条根轨迹分别起于1p、2p，终于开环零点z1及无穷远；(4)区间[-，-1]为实轴上的根轨迹段；(5)求分离点：根据式(4-14)有111+1.5+j+1.5j1ddd-解得d1=-2.12，d2=0.12d2不在根轨迹上，为不合理点，应舍弃。故分离点d=d1=-2.12。根据上述条件绘制出系统根轨迹如图4.7所示。图4.7系统根轨迹4.2.8分离角与会合角根轨迹的分离角与会合角出现在分离点(或会合点)处，方向由公式确定(法则八)。分离角d：是指根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角。会合角d：是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。分离角与会合角可用以下公式计算若d=(2k+1)/L，则d=2k/L(4-15)若d=2k/L，则d=(2k+1)/L(4-16)式中：L为重极点处的根轨迹个数(即重根数)。注：分离点在实轴上时，分离角和会合角分别为0、或±/2。4.2.9虚轴交点根轨迹与虚轴的交点(法则九)。根轨迹与虚轴相交，表明系统闭环特征方程有纯虚根，其交点对应于系统处于临界稳定状态。计算交点坐标及相应的开环增益K的方法：在闭环特征方程中令s=j，整理成实部和虚部的形式后使实部和虚部分别为零解得。自动控制原理与应用·78··78·将s=j代入闭环特征方程式(4-6)中，得1+G(j)H(j)=0(4-17)分解为Re[1+G(j)H(j)]+jIm[1+G(j)H(j)]=0故有方程组Re[1+G(j)H(j)]=0Im[1+G(j)H(j)]=0(4-18)解方程组便可求出交点坐标及相应的开环增益K。4.2.10根之和系统n个开环极点和等于n个闭环极点和(法则十)。可表示为11nniiiips(4-19)在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值。因此，符合nm≥2的反馈系统，当增益K变动使某些闭环极点在s平面上向左移动，则必然有另一些极点向右移，才能保持极点和为常值，即根轨迹重心不变。【例4.4】某负反馈系统的开环传递函数为()()(1.5j1.5)(1.5j1.5)KGsHssss试求K(由0→)变动的系统的根轨迹。解：(1)三阶系统有3条根轨迹；(2)根轨迹必对称于实轴；(3)系统开环极点为：1p=0，2,3p=-1.5±j1.5；没有开环零点。nm=3，