第十四讲 洛必达法则

第二节洛必达法则高等数学Ⅰ第三章00等七种未定式的计算2020/1/19中值定理与导数的应用2/21微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究:洛必达法则2020/1/19中值定理与导数的应用3/21型未定式解法：型及一、00定义例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(洛必达法则2020/1/19中值定理与导数的应用4/21定理1定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则..)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax法国数学家1704~1661'...HospitalLdeAFG2020/1/19中值定理与导数的应用5/21证定义辅助函数,,0),()(1axaxxfxf,,0),()(1axaxxFxF,),(xaUo内任取一点在,为端点的区间上与在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()(xFxf)()(11Ff)(之间与在ax,,aax时当,)()(limAxFxfax,)()(limAFfa.)()(lim)()(limAFfxFxfaax)()()()(aFxFafxf1111)()(xFxf11)()(Ff2020/1/19中值定理与导数的应用6/21例1解.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.1例2解.123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23)00()00(注意:不是未定式不能用洛必达法则!2020/1/19中值定理与导数的应用7/21推论1.定理1中ax换为下列过程之一:,ax推论2.若)()(limxFxf理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,x洛必达法则注意三个条件的验证2020/1/19中值定理与导数的应用8/21定理2.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx说明:定理中x可换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,axx,x2020/1/19中值定理与导数的应用9/21例3解.1arctan2limxxx求22111limxxx原式221limxxx.1例4解.sinlnsinlnlim0bxaxx求bbxbxaaxaxxcossin1cossin1lim0原式.1)00()(axbxxcoscoslim0nnn12πarctanlim数列极限：间接2020/1/19中值定理与导数的应用10/21例5解.3tantanlim2xxx求xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31）（）（xxxxxsincos233sin3cos2lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2.3)()00()00(注意：洛必达法则可以重复使用，但每次使用前要注意验证条件．2020/1/19中值定理与导数的应用11/21例6解.tantanlim20xxxxx求30tanlimxxxx原式xxxx6tansec2lim2022031seclimxxxxxxtanlim310.31）（2203tanlimxxx注意：1)洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.2020/1/19中值定理与导数的应用12/213)若,)()()(lim时不存在xFxf不能用洛必达法则!例4..)0(0elim,0nxxnx.)0(0lnlimnxxnx例3.事实上用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在3)若,)()()(lim时不存在xFxf不能用洛必达法则!2020/1/19中值定理与导数的应用13/21型未定式解法二、00,1,0,,0例7解)0(关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型),00()(型0.1步骤:,10.0100或洛原式2020/1/19中值定理与导数的应用14/21例8解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:xxxxxcossin2lim20xxxxxcossinlim21020sinlimxxxx2020/1/19中值定理与导数的应用15/21步骤:型00,1,0.3ln01ln0ln01000取对数.0例9解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim0两边取对数，再用洛必达法则先求对数的极限.或2020/1/19中值定理与导数的应用16/21例10解.lim111xxx求)1(xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e例11解.)(cotlimln10xxx求)(0)ln(cotln1ln1)(cotxxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式1111)]1(1[limxxx原式或.1e2020/1/19中值定理与导数的应用17/21例12解.coslimxxxx求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在洛必达法则失效。)cos11(limxxx原式.1注意：洛必达法则的使用条件．例13.limxxxxxeeee求解xxxee2211lim原式.1洛必达法则失效。2020/1/19中值定理与导数的应用18/21三、小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy2020/1/19中值定理与导数的应用19/21课堂练习题xxx2sinlim.211lim.31nmxxx）（111lim.40xxexxexxx101lim.5）（210sinlim.6xxxx）（xexx1lim.10212e6e21nm2020/1/19中值定理与导数的应用20/21作业P1391(双)2020/1/19中值定理与导数的应用21/21