第三章 格林函数法

若已知点电荷(点源)产生的场(边界无限远,无初始条件）qU任意带电体(任意源)产生的场(边界无限远，无初始条件）QqVU=dU积分得到若能求出某一点源在给定初始和边界条件下产生的场任意源在相同初始和边界条件下产生的场格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。积分得到：代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场格林函数§5.1泊松方程的格林函数法1.边值问题的提法①第一边值问题（狄里希利问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，且在边界上取已知值。urfrurr②第二边值问题（诺伊曼问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上对外法线方向的导数取已知值。urfrurrn③第三边值问题（洛平问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上其本身和对边界外法向导数的线性组合取已知值。urfruurn2.格林公式TvuuvvudVuvdSnn上述定解问题，都是要求在区域内部求解，故又称为内问题；若在区域外部求解，则称为外问题。在闭域上有连续一阶偏导数，在内有连续二阶偏导数，则有（为外法线方向）,,,,,uxyzvxyzTTnd()dddSTTTuuVuVuVvvvv上式称为第一格林公式上式称为第二格林公式，简称格林公式urfruurn3.泊松方程的基本积分公式典型的泊松方程(三维稳定分布）边值问题为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)rrG它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：①格林函数的引入(,)()[]000rrrrGGGn()0rr代表三维空间变量的函数，在直角坐标系中其形式为0000()()()()xxyyzzrr格林函数具有十分明确的物理意义：位于处且电量为的点电荷在接地的导体壳内处所产生的电势。由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数．0r0r0q0rro②格林函数的对称性0,Grr处的点源在点处产生的场0rr00;,GrrGrr00G,rrrr函数性质0,Grr处的点源在点处产生的场r0r场相同格林函数具有对称性对称性在电学上的意义：处单位点电荷在处产生的电势等于处单位点电荷在0rr处产生的电势r0r根据格林公式，令0(,)Grrv得到()(())d(()())dTGuuGSuGGuVnrrrrn0[()]d(()())d[(())()()]drrrrrrrTTuGGuSGuuGVnGfuVn即为根据函数性质有：00()()]d()TuVurrrr可得如下泊松方程的基本积分公式0TuvurvfdVvudSnn0TGuuruGdSGfdVnn即由格林函数的对称性可得0000000000(,)(()(,)()d[()(,)]drrr)rrrrrrrTGuuGfVuGSnn解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题，一般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得定解问题的解．urfrurr0TGuuruGdSGfdVnn分析：只须消掉公式中的项即可得到结果。nu3.第一边值问题格林函数相应的格林函数0(,)Grr是下列问题的解：0000;,;0GrrrrrrGrrT000;;TGrrurrdSGrrfrdVn000Gr;rGr;rrlSurrdlfdSn二维时0000000Gr;rrGr;rrlSurdlfdSn000000,,TGrrurrdSGrrfrdVn二维时由格林函数的对称性可得上式为第一边值问题解的积分表示式§5.2用电像法求格林函数法1.无界空间的格林函数基本解①求出对应的格林函数为求解泊松方程②利用解的积分表达式必须解一个特殊的泊松方程边值问题为求格林函数对一般形状区域，要解决这个特殊的泊松方程边值问题也十分困难，但由于满足的边值问题具有同一性，难度相对原问题也有一定程度降低，特别是对泊松方程狄利克雷问题其格林函数又有十分明确的物理图像，因此该做法仍具有重要而积极意义。不仅如此，对若干特殊形状区域，还可用初等方法求出，从而能够解决该区域上的所有泊松方程的狄利克雷问题。对狄利克雷问题的格林函数应满足：000;;0GrrrrGrr令代入上述定解问题有01GGG010010GGrrGG1100GGG00Grr再令（在区域内）显然没有考虑边界的影响（或者说对应着无界空间）注意①表示点处的源对点处的直接影响，表示点处的源对点处（通过边界）的间接影响。0G0rr1G0rr②若认为、是由点电荷、产生的电势，则由它们满足的方程可知：是所研究区域内处的点电荷在所研究区域内处产生的、且不计任何边界或初始条件的电势；则应为点电荷在边界上产生的感应电荷的等效点电荷（电量未知，位置应在所研究区域之外）在所研究区域内处产生的并满足一定边界条件的电势。0G1G10q2q0G0rr1q1G1q2qr1r称为相应方程的基本解（即无界空间的格林函数）00r;rG二维空间：00011lnc2rrG③三维空间：0000000q14rr4rr4rrG1100GGG2.电像法求特殊区域的格林函数根据格林函数的物理意义，利用电磁学中关于计算点电荷电势的知识，针对特殊区域的具体形式，再结合几何、数学有关内容，就可求得相应的格林函数，从而解决该区域上泊松方程的边值问题。这即是所谓的电像法。思路：例1试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。解：该定解问题为三维，其基本解为0014rrG1G则满足011rRrR00rR1GG4RrGOR0r0M1MPMr设产生的等效点电荷电量、位置（在的延长线上且在球形区域以外，这样方程自然满足）1Gq1r0r010q14Rr4Rr101q4rrG因此：11000RrPMqPMRr则11rOMOR0r0M1MPMr1000PMqRPMr1rR00Rqr21020Rrrr选取使得11Mr10OPMOPM01001000010011qG=G+G4rr4rrRr114rr4rr4rr4rrRr球形区域格林函数表达式；区域形状不同其格林函数也会有所不同00200020Rr14rrR4rrr2000201R14rrrR4rrr0000000Gr;rrGr;rrlSurdlfdSn000000;;TGrrurrdSGrrfrdVn0014rrG00011lnc2rrG1100GGGOR0r0M1MPMr例2试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题3rRu0rRuf,解：000rxyz000000ksincosi+sinsinj+coskksincosi+sinsinj+cosk、在球坐标系中单位矢量分别为0rr设的球坐标为00,MrMr000,,,,,rr11rOM0coskk000coscossinsincos球的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的格林函数由例1得：0011RG=4rr4rrr00rRG=r0rRGn00001rR11R4rrrrrr0kk0rr02222000011rR11R4rrr2rrcosrrr2rrcos022224200000rR11R4rrr2rrcosrrR2Rrrcos02200332222420000rRRrrrRcosrrcos14rr2rrcosrrR2Rrrcos2233222243RrRrRcos1Rrcos4rR2rRcosrRR2Rrcos223221Rr4RrR2rRcos最后得00000Gr;rr,,f,Sudn22200000300222RRrf,dsin4R+r2rRcosd2220000032221Rrf,Rsind4R+r2rRcosdR02000000Gr;rf,Rsinddn例3试求圆的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。解：圆的泊松方程的狄利克雷问题的基本解00011lnc2rrG应满足：1G1100rRrR00rR11GGlnc2RrG设产生的等效点电荷电量、位置（在的延长线上且在圆形区域以外，这样方程自然满足）1G0q=1r0rOR0r0M1MPMrOR0r0M1MPMr则：11111lnc2rrG10101111lnclnc22RrRr1100Rr1ccln2Rr仍选取使得11Mr10OPMOPM可得：11000Rr11Rcclnln22rRr21020R,rrr最后得：20002011111Rlnlnln2rr22rRrrr0101011111RG=G+Glnlnln2rr2rr2r注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式例4求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题2rRu0rRu解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：001111R1G=lnln2rr2rrr22000220110-11=ln2rr2rrcos1R1ln2rrr2rrcos0rr022000224200011ln2rr2rrcos1Rln2rrR2Rrrcos00rR0rRGG=nr22202420000000rR1Rln2rrrR2Rrrcos1lnrr2rrcos222201Rr2RRr2rRcos000fr=0,dlRd0000Gr;rlurdln2220