第三章 气体分子速率及能量分布

§1.气体分子的速率分布律一、速率分布函数分子速率分布图)/(vNNovvvvSN：分子总数分子速率分布图dN为速率在v→v+dv区间的分子数.表示速率分布在v→v+dv区间内的分子数占总分子数的比率.vvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf速率分布函数表示在一定温度下的气体，分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率.物理意义速率分布函数的归一化条件：1)(0dvvf速率位于区间的分子数12vv21()dNNfvvvv速率位于区间的分子数占总分子数的比率12vv21)(vvdvvfNN二、麦克斯韦速率分布律23222()4π()e2πmkTmfkTvvv23222d4π()ed2πmkTNmNkTvvv在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v→v＋dv内的分子的比率为：速率分布函数：v)(vfovvvdpv速率分布曲线最可几速率vp：与f（v）极大值对应的速率。物理意义如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则分布在vp所在的区间内的分子比率最大。RTRTmkTvp41.122对于给定的气体（即m一定），分布曲线的形状随温度而变；在同一温度下，分布曲线的形状因气体的不同（即m不同）而异。不同温度下的分布曲线1T1pv2pv12TTv)(vfo温度高低反映气体分子无规则运动的剧烈程度。当温度升高时，气体中速率较小的分子减少而速率较大的分子加多，最可几速率变大，所以曲线的高峰移向速率大的一方。但由于曲线下的总面积应恒等于1，所以温度升高时曲线变得较为平坦。三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值1、分子的平均速率v1122ddddnniiNNNNNvvvvv00d()dNNNfNNvvvvv08()dπkTfmvvvvRTRTmkTv59.1882、分子的方均根速率RTRTmkTv73.1332由以上结果可见：气体分子的三种速率都与成正比，与或成反比。在这三种速率中，方均根速度最大，平均速率次之，最可几速率最小。2,,vvvpTm麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831-1879)麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》（1855年12月至1856年2月）；《论物理的力线》（1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》（1864年12月8日）。对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。。麦克斯韦于1873年出版了科学名著《电磁理论》。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献，他是气体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律—麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分析正向和反向碰撞为基础的他引入了迟豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学”这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善，形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W卓有成效地运用类比的方法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类比研究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精神财富。麦克斯韦速率分布中最可几速率的概念下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大.pvpvpvpv讨论1H0.002kgmolM1O0.032kgmolM118.31JKmolR300KT例计算在27°C时，氢气和氧气分子的方均根速率smv/1093.132RTRTmkTv73.1332氢气分子氧气分子smv/4832例:已知分子数N，分子质量m，分布函数f(v),求1）速率在间的分子数；2）速率在间所有分子动能之和.p~vvp~vvvd)(dNfN速率在间的分子数dvvvp21()d2mNfvvvv2）p()dNfvvvv1）例如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率.()~fvv)(vf1sm/v2000op22p22(H)(O)324(O)(H)2mmvvp2kTmv22(H)(O)mmp2p2(H)(O)vvp2(H)2000m/svp2(O)500m/sv(n为分子数密度)说明下列各量的物理意义：1.()fvdv2.()Nfvdv3.()nfvdv214.()vvfvdv215.()vvNfvdv06.()fvdv207.()vfvdv思考题解：——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数占总分子数的比率。——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。——单位体积内分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。1.()dNfvdvN2.()NfvdvdN3.()NdNdNnfvdvVNVNdvdNvf)(2211()()4.()vNvvNvdNfvdvN——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分子数的比率。2211()()5.()vNvvNvNfvdvdN——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数。06.()1fvdv——分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）2207.()vfvdvv——v2的平均值。四、麦克斯韦速度分布律设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，速度分量vx在区间vx~vx+dvx内，速度分量vy在区间vy~vy+dvy内，速度分量vz在区间vz~vz+dvz内的分子的比率为：,,xyzzyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/3222)2(引用速度空间的概念，可以对这个定律得到更直观的理解。速度空间：以vx，vy，vz为轴的直角坐标系（或以v、θ、φ为坐标的球坐标系）所确定的空间。速率分布公式：xvzvyvovdvdvvd24dvvekTmNdNkTmv22/2/32)2(4速度分量vx的分布函数：kTmvxvxxxekTmNdvdNvf2/2/12)2()(速度分量vy和vz的分布函数：kTmvyvyyyekTmNdvdNvf2/2/12)2()(kTmvzvzzzekTmNdvdNvf2/2/12)2()(例题：用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数解：取直角坐标系xyz，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA。设单位体积内的气体分子数为n，则单位体积内速度分量vx在vx～vx＋dvx之间的分子数为nf(vx)dvx.在所有vx介于vx～vx＋dvx之间的分子中，在一段时间dt内能够与dA相碰的分子只是位于以dA为底，以vxdt为高的柱体内的那一部分，其数目为nf(vx)dvx·vxdtdA=nf(vx)dvx·dtdA。因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在vx～vx＋dvx之间的分子数即为：xkTmvxxxxdvekTmnvdvvfnvx2/2/12)2()(将上式从0到∞对vx积分，即求得每秒碰到单位面积上的分子总数为：02/2/102)2()(xxkTmvxxxdvvekTmndvvfnvx其中：mkTdvvexxkTmvx02/2代入前式，即得：2/10)2()(mkTndvvfnvxxx由于分子的平均速率为：mkTv8vndvvfnvxxx41)(0结果表示为：五、误差函数0xx讨论如何计算速度的分量介于到某一给定值范围内的分子数xxxdvvv~速度的x分量在区间内的分子数为：xkTmvvdvekTmNdNxx2/2/12)2(因此，速度的x分量在0～vx这一范围内的分子数为：xxxxxvxkTmvvvvdvekTmNdNN02/2/10~02)2(1212()2()2xxmxkTmkT1212kTmxdxd122xdxkTddxm211220022xxxmkTNNedxkTm220022()2xxxxNNedxedxNerfx六、统计规律性和涨落现象什么是统计规律性(statisticalregularity)大量偶然性从整体上所体现出来的必然性例.扔硬币对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法.统计规律性从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法伽尔顿板大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。统计规律和方法伽尔顿板小球数按空间位置分布曲线统计的基本概念1.概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。()limANNPAN概率的性质:(1)概率取值域为0()1PA统计规律特点:（1）只对大量偶然的事