大学数学函数的极限

类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。1lim0nn1lim0xx1lim0xx1lim0xx对于数列极限故很自然地1lim(1)2xx20lim(1)xx1函数的极限又如：当1x时，12x，记作相似地Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x满足不等式0|x－x0|δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，|f(x)－A|ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作,0,0语言表述当时有则00xxAxf)(Axfxx)(lim0自变量趋于有限值时函数的极限()fxA与度量的接近程度xa度量的与接近程度1）表示时有无极限与有无定义没有关系.00xx00,xxxx)(0xf)(xf2）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.)(3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注xOy函数极限的几何解释如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。证函数在点x=1处没有定义.,0211)(2xxAxf1x.211lim21xxx例1.211lim21xxx证明,)(Axf要使,只要取01x当时,,2112xx就有1x即0lim.xxCC.lim00xxxx例2,lim0CCxx证明(C为常数)证,00,要使00xxAxf)(CC0成立,例3.lim00xxxx证明证0(),fxAxx,0,取00xx当时,0)(xxAxf成立,可任取一当时要使左极限left-handlimit右极限right-handlimitx仅从x0的左侧趋于x0，记作或x仅从x0的右侧趋于x0，记作或0()fxxx函数当时极限存在左极限与右极限都存在,并且相等0(0)fxA0(0)fxA0x0x左极限与右极限0xx0xx考虑符号函数现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(x)的极限右极限左极限yxo1-1从右边趋于0从左边趋于0左右极限不相等证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等10()0010xxfxxxx0lim(1)1xx0lim()xfx0lim()xfx不存在20()0.10xxfxxaax设函数在时的极限存在，求200lim()lim0xxfxx00lim()lim(1)1xxfxaa10a1a例题yxo)(),()lim()()()xxxfxAAfxxfxAfxAx如果无限增加(记作时，函数值可以无限逼近常数则称常数是函数在时的极限，记作。或自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限lim()0,0,,()xfxAXxXfxA时即的方式有两种可能：（且无限增大）xx0xAxfx)(lim（且无限增大）x0xAxfx)(lim注AxfAxfxx)(lim)(limAxfx)(lim且)(limxfx)(limxfx)(limxfx若或不存在,则不存在.若,则不存在.)(lim)(limxfxfxx)(limxfx几何意义yxOAA-XXA如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x－X或xX时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.limarctanxx不存在yxoy=arctanx观察y=arctanx的图像从图像容易看出结果xyoy=1/x00所以yxoyxo考虑函数f(x)=ax,分a1,,0a1两种情形下，分别求x→+∞,x→－∞，x→∞时f(x)的极限。1a01a所以，101aa或时，都不存在。limxxa函数极限的性质唯一性函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.局部有界性如果lim()xafx存在，则函数在点的某个去心邻域内有界。()fx0x局部保号性0lim()xxfxA设0A0A00(,)xUx0)(xf()0fx（1）若（或），则，使得有（或）0(,)xUx0)(xf0)(xf0(0)AA或0x（2）若存在点的去心邻域，使得，有（或），则推论:如果，且当时，则，即fxgx0xx,fxAgxB00limlimxxxxfxgxAB如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）无穷小举例无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数.都是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与无穷小不能说函数f(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即无穷小与自变量的变化过程有关.如时是无穷小，但时，则不是无穷小。2x2x2x3x无穷小的性质定理1是无穷小其中的充分必要条件是具有极限中，函数或程在自变量的同一变化过,)()()(0AxfAxfxxx极限与无穷小的关系即lim()(),fxAfxA其中lim0•两个无穷小的和或差，仍是无穷小。•有限个无穷小的代数和仍是无穷小。•有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。•有限个无穷小的乘积仍是无穷小。•常数与无穷小的乘积是无穷小。例如，因为1lim0,sin1xxx所以1limsin0xxx01limsin0xxx同理如果函数f(x)在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此极限过程的无穷大（量）。只有一种趋势包括两种趋势如无穷大观察函数y=1/x的图像再考察函数y=lnx注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx无穷小和无穷大的关系在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则)(1xf0)(xf为无穷大则)(1xf为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且无穷小和无穷大的运算法则以下A表示有极限的函数，K表示有界函数，C代表常数结果不定，称为未定式极限的四则运算法则注：设有数列和.如果则1)2)3)当且时,nxnyByAxnnnnlim,limBAyxnnn)(limlim()nnnxyAB0B),2,1(0nynBAyxnnnlim351lim232xxxx例２求解这里分母的极限不为零,故)35(lim22xxx3lim5limlim2222xxxxx3limlim5)lim(2222xxxxx32522,03351lim232xxxx)35(lim1limlim22232xxxxxx.373123小结:则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf例１求)12(lim1xx解111lim(21)lim2lim1xxxxx12lim1xx211则有且设,0)(,)()()(.20xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf.,0)(0则商的法则不能应用若xQ93lim23xxx例３求23331limlim93xxxxx解例４求4532lim21xxxx解2121lim(54)0,23lim54xxxxxxx分母的极限不能应用商的极限运算法则,故33lim1lim(3)xxx16例５求357243lim2323xxxxx解323323423342limlim537537xxxxxxxxxx例６求52123lim232xxxxx解223323321321limlim15252xxxxxxxxxxx37002例７求12352lim223xxxxx解32322315225limlim321321xxxxxxxxxxx为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当x对类型，两个多项式之比的极限只与最高次项有关，一般规律如下：因式分解消除零因子有理化消除零因子00例题例题00多项式分解因式无理式有理化消除零因子20lim011xxx例９求xxxsinlim解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxx由题设知，分子必须是x的零次多项式解答由x→0得3x→0即u→0重要极限Ⅰ的应用举例重要极限Ⅰsin1无穷小无穷小201cos(3)limxxx202sin12lim2()2xxx32x(6)xxxarcsinlim0sin,tarcx令0limsinttt1sin,xt则0,x当时0t有1lim(1)xxex1(2)lim(1)xxx11lim[(1)]xxx111lim[(1)]uueu120(1)lim(1)xxx1120lim[(1)]xxx12e10lim(1)xxxe1,xtxt令再换成重要极限Ⅱ的应用举例公式特点：11e无穷小无穷小25(5)lim()xxxx1ln1(6)lim(ln)xxex1055lim[(1)]xxx1ln1lim[1(ln1)]xxex10ln1lim(1)uuuxu111(3)limxxx111lim[1(1)]xxxcot0(4)lim(1tan)xxx1tan0lim(1tan)xxx例题例题eee10e定义无穷小的比较0arcsinxxx证明时，0arcsinlimxxx0limsinuuuarcsinux10arcsinxxx所以时，比较下列两个无穷小12330xxx(1)，和320sinxxx(2)，和201cosxxx(3)，和低阶高阶同阶无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。,lim,设，且存在则limlim