大学文科数学_张国楚_不定积分

第五章微分的逆运算问题——不定积分引言数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数,进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,他们发明的.------恩格斯运动生,但不是由数学发展的动力主要来源于17世纪,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、量.微积分的创立首先是为了解决当时数学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、社会发展的环境力引言数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数,进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,他们发明的.------恩格斯运动生,但不是由数学发展的动力主要来源于17世纪,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、量.微积分的创立首先是为了解决当时数学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、社会发展的环境力引言面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等.此类问题的研究具有久远的历史,例如,古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积,我国南北朝时期的祖冲之、也曾推导出某些图形的面积和体积,而在欧洲,此类问题的研究兴起于17世纪,修改,后来由于微积分的创立大类问题的方法.祖恒对先是穷竭法被逐渐彻底改变了解决这一由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生引言由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题,产生了不定积分和定积分,同构成了微积分学的积分学部分.前面已经介绍已知函数求导数的问题,们要考虑其反问题:已知导数求其函数,数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.现在我这种由导完教学目标：本章目标是介绍不定积分的概念、性质和求不定积分的主要方法（换元积分法和分部积分法）。要求理解不定积分的概念和性质、掌握不定积分的基本积分公式、换元积分法和分部积分法。了解莱布尼茨的生平事蹟和他对数学发展所作的贡献。教学重点：不定积分的概念和性质、不定积分的基本积分公式；教学时数：8学时；教学内容§1逆向思维又一例——原函数与不定积分§2矛盾转化法——换元积分和分部积分法数学家启示录教学难点：不定积分的换元积分和分部积分法；1.1原函数与不定积分的概念定义1设函数与在区间I上有定义.若在I上，则称函数为在区间I上的一个原函数.)(xF)(xf)()(xfxF)(xF)(xf研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴什么条件下，一个函数存在原函数？⑵如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？原函数的概念定义从上述后面两个例子可见:唯一的.设是定义在空间上的函数,)(xfI若存在函数对任何均有)(xFIx)()(xfxFdxxfxdF)()(或则称函数为在区间上的原函数.)(xF)(xfI例如,因为,cos)(sinxx故是的一个原函数;xcosxsin因为,2)(2xx故是的一个原函数;2xx2因为,2)1(2xx故是的一个原函数;12xx2一个函数的原函数不是原函数的概念从上述后面两个例子可见:唯一的.一个函数的原函数不是一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.事实上,则事实上,即有若为在区间上的原函数,)(xF)(xfI)()(xfxF)(])([xfCxF(为任意常数).C从而也是在区间上的原函数.CxF)()(xfI设和都是的原函数,)(xF)(xG)(xf0)()()()(])()([xfxfxGxFxGxFCxGxF)()((为任意常数).C由此知道,若为在区间上的原函数,)(xF)(xfI则原函数的概念由此知道,若为在区间上的原函数,)(xF)(xfI则函数的全体原函数为)(xfCxF)((为任意常数).C原函数的存在性将在下一章讨论,个结论:这里先介绍一注:函数求导得来的.则其全体原函数为区间上的连续函数一定有原函数.I求函数的原函数,)(xf实质上就是问它是由什么而一旦求得的一个原函数)(xf),(xFCxF)((为任意常数).C完定理1若函数在区间I上连续，则在I上存在原函数.)(xf)(xf)(xF定理2设是在区间I上的一个原函数，则⑴也是的一个原函数，其中C为任意常数；⑵的任意两个原函数之间，相差一个常数.)(xF)(xfCxF)()(xf)(xf以下两个定理为我们作了回答.定义2在区间I上的全体原函数称为在I上的不定积分，记作其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，x为积分变量.)(xf.)(dxxf)(xfdxxf)(由定义2知，.)()(CxFdxxf这时又称C为积分常数，它可以取任意实数值.于是有).()()(xfCxFdxxf)(xf不定积分的概念注:由定义知,求函数的不定积分,)(xf就是求的全体原函数,)(xf在中,dxxf)(故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分)运算的逆运算.积分号表示对函数实行求原函数的运算,)(xf完例1问dxxfdxd)(与dxxf)(是否相等?解不相等.设),()(xfxF则dxxfdxd)())((CxFdxd0)(xF)(xf而由不定积分定义dxxf)(Cxf)(所以dxxfdxd)(.)(dxxf完例2求下列不定积分;)1(3dxx;1)2(2dxx.11)3(2dxx解(1)所以44x3x是的一个原函数,从而Cxdxx443).(为任意常数C(2)所以x121x是的一个原函数,从而Cxdxx112).(为任意常数C(3),434xx因为,112xx因为,11)(arctan2xx因为例2求下列不定积分;)1(3dxx;1)2(2dxx.11)3(2dxx解(2)因为,112xx所以x121x是的一个原从而Cxdxx112).(为任意常数C(3)因为,11)(arctan2xx函数,的原函数,从而Cxdxxarctan112).(为任意常数C完故xarctan211x是的不定积分的几何意义若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线.于是，函数的不定积分在几何上表示的积分曲线族，它可由的某一条积分曲线沿y轴方向上下平移而得到.显然，曲线族中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行.（如图）)(xF)(xf)(xFy)(xf)(xfdxxf)()(xf)(xf)(xFy例3设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.解设所求曲线为y=f(x)，(x,y)为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件有.0,cos0xyxdxdy{由于sinx是cosx的一个原函数，所以cosx的不定积分是y=sinx+C.于是所求的曲线族为.sincosCxxdxy代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分曲线为.xysin微分运算与积分运算的关系由不定积分的定义知,即所以原函数,若为在区间上的)(xF)(xfI)()(xfxF或dxxfxdF)()(则在区间内的不定积分为)(xfI,)()(CxFdxxf易见是的原函数,dxxf)()(xf)(])([xfdxxfdxd或,)(])([dxxfdxxfd所以又由于是的原函数,)(xF)(xFCxFdxxF)()(.)()(CxFxdF或微分运算与积分运算的关系所以又由于是的原函数,)(xF)(xFCxFdxxF)()(.)()(CxFxdF或从上可见微分运算与积分运算是互逆的.两个运算连在一起时,一常数.完全抵消,dd抵消后差完基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)Ckxkdxk(是常数)Cxdxx11)1(Cxxdx||lnCxdxxarcsin112Cxxdxsincos(4)Cxdxxarctan112(7)Cxxdxcossin基本积分表(7)Cxxdxcossin(9)(10)(11)(12)(13)Cxxdxxdxcotcscsin22CxxdxxsectansecCxxdxxcsccotcscCedxexx.lnCaadxaxx(8)Cxxdxxdxtanseccos22完说明:0xCxxdxln,0xxxxx1)(1)ln(Cxxdx)(ln.lnCxxdx完1.3不定积分的线性运算法则定理1若函数和在区间I上的原函数都存在，则在区间I上的原函数也存在，且)(xf)(xg)()(xgxf.)()())()((dxxgdxxfdxxgxf定理2若函数在区间I上的原函数存在，k为实数，则函数在区间I上的原函数也存在，且)(xf)0(k)(xkf.)()(dxxfkdxxkf注：此性质可推广到有限多个函数之和的情形直接积分法从前面的例题知道,不定积分是非常不方便的.为解决不定积分的计算质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法,直接积分法.利用不定积分的定义来计算问题,这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性即例如,计算不定积分.)72(2dxxxdxxx)72(2dxxdxdxx722Cxxx7323不定积分性质积分基本公式直接积分法dxxx)72(2dxxdxdxx722Cxxx7323不定积分性质积分基本公式注:多个不定积分作代数和运算时,只需统一记一个积分常数.C完例4求.)3cos2(dxxexx解dxxexx)3cos2(xdxdxexdxx3cos2.321sin22Cxxexx例3求.dxxx221解dxxx221dxxdxdxx2211)111(.arctanCxx例5求不定积分.13dxxx解dxxdxxx3431Cx1341341.331Cx完例6求不定积分.2dxexx解dxexx2dxex)2(Ceex)2ln()2(.2ln12Cexx完例7求不定积分.22dxxx解dxxdxxdxxx2222dxxxdx1221.||ln242Cxx完例8求不定积分.1142dxxxdxxx4211解dxxxx222111dxx211.arcsinCx完例9求不定积分.124dxxxdxxx241解dxxx24111222(1)(1)11xxdxxdxxx22111dxxdxdxx22111.arctan33Cxxx完例10求下列不定积分:;tan)1(2xdx.2sin)2(2dxx解)1(xdx2tandxx)1(sec2dxxdx1sec2;tanCxx)2(dxx2sin2dxx)cos1(21dxx)cos1(21xdxdxcos21.)sin(21Cxx完例11求不定积分.cossin122dxxx解dxxxxxdxxx222222cossincossincossin1dxxdxx22sin1cos1.cottanCxx完第一类换元法(凑微分法)问题Cedxexx22?观察从公式,Cedueuu令,2xu则有Cexdexx22)2(Cedxexx22解法可将微分dx凑成)2(21xd的形式,即)2(21xddx)2(21