大学文科数学全部公式

1．重要极限1sinlim0xxx.2．重要极限exxx)11(lim1sinlim0特点:①特点:e)11(lim定义3设0limlim，（1）若0lim，则称是的高阶无穷小量，记为)(o；而称是的低阶无穷小量.（2）若0limk，则称与是同阶无穷小量，记为)(O；（3）若1lim，则称与是等价无穷小量，记为～；（4）若)0,0(limkLLxk，则称0x时，的是xk阶无穷小量.重要结论：)1ln(x～,x)1(logxa～,ln1xa1xe～,x1xa～,lnax1)1(x～.x,0时当x)(lim)()(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx连续的概念∴xsin～xtan～xarcsin～xarctan～x(0x)；xcos1～221x（0x）；11nx～nx（0x）.（极值存在的必要条件）称为可能极值点导数不存在的点驻点.定理设)(xfy在],[ba上连续，在),(ba内二阶可导，则（1）若),(ba在内，0)(xf，则曲线弧),()(baxfy在内是向下凸的；（2）若),(ba在内，0)(xf，则曲线弧),()(baxfy在内是向上凸的.基本初等函数和常数的求导公式（1）0)(c；（2）1)(xx；（3）aaaxxln)(；（4）xxee)(；（5）axxaln1)(log；（6）xx1)(ln；（7）xxcos)(sin；（8）xxsin)(cos；0000000()()()()()limlimlimxxxxfxxfxfxfxyfxxxxx;0)(d)1(C;d0)1(Cx;d)1(d)2(1xxx);1(1d)2(1Cxxx;d1)(lnd)3(xxx;lnd1)3(Cxxx;d11)(arctand)4(2xxx;arctand11)4(2Cxxx;d11)(arcsind)5(2xxx;arcsind11)5(2Cxxx;d)ln(d)6(xaaaxx;lnd)6(Caaxaxx1.积分公式;d)(d)7(xeexx;d)7(Cexexx;dcos)(sind)8(xxx;sindcos)8(Cxxx;cotdcsc)11(2Cxxx;tandsec)10(2Cxxx;cosdsin)9(Cxxx;dsec)(tand)10(2xxx;dcsc)cot(d)11(2xxx;dtansec)(secd)12(xxxx.cscdcotcsc)13(Cxxxx;dsin)cos(d)9(xxx;secdtansec)12(Cxxxx.dcotcsc)csc(d)13(xxxx2．常用凑微分式子（1）)(d1dbaxax；（2）)(d21d2xxx；（3）)(lndd1xxx；（4）)1(dd12xxx；（5）)(d2d1xxx；（6）)(arctandd112xxx；.coslndtanCxxx.sinlndcotCxxx即uvuvvudd.不定积分的分部积分法分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，分部积分法是乘积微分公式的逆运算.一、分部积分公式如dxaxxn，xdxxnsin，xdxxnarctan，dxxexcos等.反对幂指三例10.求dxex11解：令tex1，12tex，)1ln(2tx，dtttdx122，则dttdttttdxex1121211122.1111ln11ln22CeeCttxx（一）简单根式代换三角函数代换.当被积函数含有（1）22xa时，令taxsin；（2）22ax时，令taxtan；（3）22ax时，令taxsec.变限求导公式（1）)(]d)([xfttfxa；（2）)(]d)([xfttfbx；（3）)()]([]d)([xxfttf(x)a；（4）)()]([]d)([)(xgxgfttfbxg；（5）)()]([)()]([])d([)()(xgxgfxxfttfxxg.奇偶函数在对称区间上的积分性质（1）xxfxfxxfaaad)]()([d)(0；（2）当)(xf为偶函数，则xxfxxfaoaad)(2d)(；（3）当)(xf为奇函数，则0d)(xxfaa.可分离变量方程的一般形式为)()(ygxfdxdy（1）分离变量：)0)(()()(ygdxxfygdy；（2）两边积分：dxxfygdy)()(；（3）求出积分，得通解：CxFyG)()(，其中)(),(xFyG分别是)(,)(1xfyg的原函数。（4）根据初始条件求方程的特解.（5）若有0)(0yg，则0yy也是方程的解，称为常数解.求解步骤：]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP)()(xQyxPy（二）一阶线性非齐次方程的解法例．求方程0dd)(4xyyyx的通解.其中yyP1)(，3)(yyQ，代入通解公式，得]31[]d[3d13d1CyyCyeyexyyyy，故原方程的通解为Cyyx431.分析：若仍把当作自变量x，把当作y未知函数，由于方程中4y含有，则它不是线性方程，为此，可把yx当作是的函数.解：yyxxyd)(d4，31ddyxyyx，这是一个关于未知函数)(yxx的一阶线性非齐次方程，行列式的计算三角法：根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。降阶法：利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。递推法：通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由递推关系式求解其值。三种常用方法1、用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造:(AE);2)做初等行变换1AEEA行2、用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:BAEBA1)1行BAX12)3、用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:初等变换的应用：1)1BAEBA列12BAX)4、用初等变换求矩阵的秩的方法:1）将A用初等变换化为行阶梯矩阵；2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.5、用初等变换求线性方程组的解6、用初等变换求行列式||A111nnnddd11nndd线性方程组(一)齐次线性方程组Ax=0(1)设A是m×n矩阵,则:（1）齐次方程组(1)只有零解(未知量的个数).nAR)(（2）齐次方程组(1)有非零解(未知量个数).nAR)(有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式.0A有n个未知数n个方程的齐次线性方程组求解齐次线性方程组的一般步骤：①对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵；②由行最简矩阵写出对应的同解方程组；③令同解方程组中的自由未知量分别为从而得出原方程组的全部解.12,,,,nrccc设矩阵A与矩阵B分别是非齐次线性方程方程组Ax=b的系数矩阵与增广矩阵,则(2)Ax=b有无穷多解r(A)=r(B)n(未知量的个数).r(A)=r(B)=n(未知量的个数).(1)Ax=b有唯一解(3)Ax=b有无解r(A)r(B)(未知量的个数).解非齐次线性方程组Ax=b的一般步骤为：(2)对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简形矩阵；(3)由行最简形矩阵写出同解方程组；(4)求出同解方程组的全部解。(1)对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观察R(A)=R(B)，？若R(A)≠R(B)，则方程组无解，解题完毕；若R(A)=R(B)，转向2）步；CH9随机事件及其概率1.基本概念随机试验,样本空间,样本点,随机事件,概率,条件概率,几何概率;事件的互不相容,事件的独立性.A与B互不相容A∩B=A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B)2.事件间的基本运算)()()(),()()(CABACBAACABCBABABABABAABABABA注:当P(A),P(B)0两者不能同时成立3.概率的计算方法直接计算中样本点总数中包含的样本点个数SAP(A)注:放回抽样,不放回抽样,利用公式条件概率公式)()()|(APABPABP乘法公式)|()()(ABPAPABP)()()()(:,ABPBPAPBAPBA事件)()(,,111iniininAPAPAA两两互不相容)(1)(APAP加法公式分子分母针对同一样本空间.重要技巧)()()()(ABPAPABAPBAP()()()()()PABPABPAABPAPAB减法公式贝叶斯公式全概率公式11()()(|)()nniiiiiPBPBAPBAPA()()()iiPABPABPB1()()()()iinjjjPAPBAPAPBA.,,2,1ni.,,,).()()(,,独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设BABABPAPABPBA(1)两事件相互独立),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP.,,,21为相互独立的事件则称nAAA有等式具任意意如果对于任个事件是设推广,1,)1(,,,,2121niiinkknAAAkn若试验E单次试验的结果只有两个A,，且P(A)=p保持不变，将试验E在相同条件下独立地重复做n次，也称为n重伯努利概型，简称伯努利概型．A伯努利(Bernouli)概型伯努利定理设在一次试验中，事件A发生的概率为(01),pp则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为(;,)(1)kknknbknpCpp(0,1,,).kn