第2章随机过程的基本概念2

2.5两个(以上)随机过程的概率特征1、两个(以上)随机过程的联合分布☞设X(t)={X(t,),t∈T}，和Y(t)={Y(t,),t∈T}为两个随机过程，若t1,t2,…,tn∈T;1,2,…,m∈T,称n+m维随机变量{X(t1),X(t2),…,X(tn);Y(1),Y(2),…,Y(m)}的联合分布函数:Fn,m(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;y1,y2,…,ym;1,2,…,m)=P{X(t1)x1,X(t2)x2,…,X(tn)xn;Y(1)y1,Y(2)y2,…,Y(m)ym}.为二维随机过程{X(t,),t∈T}和{Y(t,),t∈T}n+m维的联合分布函数。2.5两个(以上)随机过程的概率特征n+m维的联合概率密度记为fn,m(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;y1,y2,…,ym;1,2,…,m)若n,m∈N,t1,t2,…,tn∈T;1,2,…,m∈T,满足分布函数Fn,m(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;y1,y2,…,ym;1,2,…,m)=Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;)Fm(y1,y2,…,ym;1,2,…,m)或fn,m(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;y1,y2,…,ym;1,2,…,m)=fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;)fm(y1,y2,…,ym;1,2,…,m)则称二维随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是相互统计独立的。2.5两个(以上)随机过程的概率特征2、两个(以上)随机过程的数字特征设X(t)={X(t,),t∈T}，和Y(t)={Y(t,),t∈T}为概率空间(Ω,F,P)上的两个随机过程。若t∈T:E{[X(t)]2}+,E{[Y(t)]2}+,t1,t2∈T:称RXY(t1,t2)为二维随机过程{X(t,),t∈T}和{Y(t,),t∈T}的互相关函数(crosscorrelationfunction)。yxttyxxyftYtXEttRXYXYdd),;,()]()([),(212121随机变量X(t1),Y(t2)的二阶混合原点矩2.5两个(以上)随机过程的概率特征设X(t)={X(t,),t∈T}，和Y(t)={Y(t,),t∈T}为概率空间(Ω,F,P)上的两个随机过程，若t∈T:E{[X(t)]2}+,E{[Y(t)]2}+,t1,t2∈T:称CXY(t1,t2)为二维随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数(crosscovariancefunction)。)()(),()]()()()([dd),;,()]()][([)]}()()][()({[)]()(cov[),(21212121212122112121tmtmttRtmtmtYtXEyxttyxftmytmxtmtYtmtXEtYtXttCYXXYYXXYYXYXXY随机变量X(t1),Y(t2)的二阶混合中心矩2.5两个(以上)随机过程的概率特征3、随机过程的独立☞设二维随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T},若Fn,m(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;y1,y2,…,ym;1,2,…,m)=Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;)Fm(y1,y2,…,ym;1,2,…,m)或fn,m(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;y1,y2,…,ym;1,2,…,m)=fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn;)fm(y1,y2,…,ym;1,2,…,m)则称X(t)和Y(t)是(相互统计)独立的。2.5两个(以上)随机过程的概率特征3、随机过程的不相关的☞设二维随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T},若则称X(t)和Y(t)是不相关的。一般：X(t)和Y(t)是独立的X(t)和Y(t)是不相关的.)()(),(,0),(212121tmtmttRorttCYXXYXY2.6复(值)随机过程1、复(值)随机过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}，和Y(t)={Y(t,),t∈T}为两个定义在相同概率空间(Ω,F,P)上的实(值)随机过程,则Z(t)=X(t)+iY(t),t∈T称Z(t)为复(值)随机过程。2.6复(值)随机过程2、复随机过程的数字特征☞定义:设复(值)随机过程Z(t)=X(t)+iY(t),t∈T，若X(t)={X(t,),t∈T}和Y(t)={Y(t,),t∈T}的数学期望和二阶矩都存在，则定义mZ(t)=E[Z(t)]=E[X(t)]+iE[Y(t)],t∈T为Z(t)的数学期望函数(复随机过程的一阶矩)。2.6复(值)随机过程2、复随机过程的数字特征☞定义:设复(值)随机过程Z(t)=X(t)+iY(t),t∈T，若X(t)={X(t,),t∈T}和Y(t)={Y(t,),t∈T}的数学期望和二阶矩都存在，则定义为Z(t)的(自)协方差函数(复随机过程的二阶矩)。TtttmtZtmtZEttCZZZZ21221121,},)]()([)]()({[),(2.6复(值)随机过程☞定义:设复(值)随机过程Z(t)=X(t)+iY(t),t∈T，若X(t)={X(t,),t∈T}和Y(t)={Y(t,),t∈T}的数学期望和二阶矩都存在，则定义为Z(t)的(自)相关函数(复随机过程的二阶矩)。})]()([)]()({[])()([),(22112121tiYtXtiYtXEtZtZEttRZZ2.6复(值)随机过程☞定义:设复(值)随机过程Z(t)=X(t)+iY(t),t∈T，若X(t)={X(t,),t∈T}和Y(t)={Y(t,),t∈T}的数学期望和二阶矩都存在，则定义为Z(t)的方差(复随机过程的二阶矩)。一般DZ(t)0∈R),(|)()(|)(2ttCtmtZEtDZZZZ2.6复(值)随机过程3、复随机过程的数字特征的关系☞(自)协方差函数和(自)相关函数的关系☞(自)协方差函数和方差的关系),()(ttCtDZZZTtttmtmttRttCZZZZZZ21212121,,)()(),(),(2.6复(值)随机过程4、两个复随机过程的互协方差函数、互相关函数☞定义:设复(值)随机过程Z1(t),Z2(t),t∈T，称和分别为Z1(t),Z2(t)的互协方差函数和互相关函数。TtttmtZtmtZEtZtZttCZZZZ21222111221121,},)]()([)]()({[))(),(cov(),(2121])()([(),(22112121tZtZEttRZZ例题P502.6.12.7常用随机过程的定义一、二阶矩过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t∈T，其均值EX(t)和方差DX(t)都存在，则称X(t)为二阶矩过程(secondorderprocess)，亦称有限方差过程(finitevarianceprocess)。性质：•共轭对称性：•非负定性：TtstsRtsRXX,,),,(),(nknllklkXttR110),(2.7常用随机过程的定义常见的矩•随机变量–均值、均方、方差、中心矩、原点矩•复随机变量的矩–均值、均方、方差、中心矩、原点矩•随机向量的矩–相关矩、协相关矩、相关系数、联合原点矩、联合中心矩、相关矩阵•随机过程的矩函数–均值函数、均方函数、自协相关函数、方差函数•复随机过程的矩函数2.7常用随机过程的定义二、常见的二阶矩过程：•正态过程；•正交增量过程;•独立增量过程;•Wiener过程；•Poisson过程;•(宽)平稳过程。2.7常用随机过程的定义1、正态过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若n∈N,t1,t2,…,tn∈T，{X(t1),X(t2),…,X(tn)}是n维正态随机向量，则称X(t)为正态过程(normalprocess)，亦称高斯过程(Gaussprocess).或“X(t)的任一有限维分布函数都是多维正态分布，则X(t)为正态过程，亦称之为高斯过程”。例题P512.7.12.7常用随机过程的定义主要性质和结论设X(t)={X(t,),t∈T}正态过程，则X(t)的有限维分布函数都是有限维正态分布，由其均值函数和协方差函数所完全确定。2.7常用随机过程的定义Gauss随机对象（正态随机对象）•Gauss随机变量•Gauss随机向量•Gauss过程•是通信与信息工程领域较为常见的随机对象，应当熟练掌握其性质正态随机变量•Gauss函数•Q函数•误差函数正态随机变量的性质•均值为•方差为•原点矩：•特征函数•中心极限定理–噪声建模为Gauss随机变量的理论依据正态随机向量正态随机向量的性质•均值向量性质•相关矩阵性质•特征函数•子向量也是正态随机向量•“独立性”和“不相关性”等价•正态随机向量的线性变换仍是正态随机向量–推论：若干正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量正态随机过程正态随机过程的性质•和正态随机向量的性质一致，只是向量的分量取自一个随机过程的不同时刻而已。2.7常用随机过程的定义2、(宽)平稳过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个二阶矩过程，且(1)mX(t)=E[X(t)]=const.(2)RX(s,t)=RX(t-s),或RX(t,t+)=RX()称X(t)为(宽)平稳过程(stationaryprocessinwidesense)，亦简称为平稳过程.2.7常用随机过程的定义3、正交增量过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}为二阶矩过程，T=[0,+∞)若0≤t1t2≤t3t4+∞,则称X(t)为正交增量过程(orthogonalincrementprocess).0})]()([)]()({[3412tXtXtXtXE例题P522.7.22.7常用随机过程的定义•☞定理1:•设X(t)={X(t,),t∈[a,b]是正交增量过程,且X(a)=0,则•1)•2)ΦX(是单调不减函数.2(,)(min(,)),,[,](,)(min(,))(min(,))()(),[,]XXXXXXXRstststabCstDstmstmsmtstab2.7常用随机过程的定义4、二阶矩独立增量过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}为随机过程，T=[0,+∞)若0≤t1t2…tn+∞,增量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)互相独立，则称X(t)为独立增量过程(independentincrementprocess).若X(t)为独立增量过程且二阶矩存在则称X(t)为二阶矩独立增量过程。如：泊松过程、布朗运动例题P532.7.32.7常用随机过程的定义•☞定理1:•独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布函数确定.2.7常用随机过程的定义5Wiener过程☞定义:设X(t)={X(t,),t∈T}为二阶矩过程，(1)X(0)=0；(2){X(t),t=0}是平稳的独立增量过程；(3)0≤st,X(t)-X(s)~N(0,2(t-s)).则称X(t)为Wiener过程（WienerProcess)。☞定理1:Wiener过程是正态过程.例题P53-542.7.4,2.7.52.7常用随机过程的定义6、Poisson过程应用：服务站(电话总机、公共汽车站、图书馆)来到的客流数；某路口通过的车辆数；交通流中的事故数；宇宙中的行星流；某地的地震次数；保险理赔、汽车进站、零件更换••••••。特点：时间和空间上具有均匀性；未来与过去无