第2章静电场与恒定电场

第二章静电场第二章静电场2.1电荷与电荷的分布2.2库伦定律与电场强度2.32.4泊松方程拉普拉斯方程2.5介质中的高斯定律电位移矢量2.6介质分界面上的边界条件2.7电场的能量和能量密度第二章静电场2.1电荷与电荷分布311927199.107101.602101.673101.60210epmkgeCmkgeC静止质量电子电荷量自然界最小粒子静止质量质子电荷量精确地说，任何带电物体的电量都是以e为正负整数倍微观上：与物体质量一样，电荷以离散方式分布于空间工程上：可以认为电荷以连续的方式分布于空间。（或某个体积之内）1、电荷第二章静电场电荷分布电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图2.1.1所示。图2.1.1电荷的体分布、面分布和线分布电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷体密度定义为空间某点单位体积的电荷量，即qr0lim)(第二章静电场若在电荷分布的空间内任取一个微小体积，则该体积元的电荷量为)(rq计算某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得：drq)(定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量：定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：sqrss0lim)(lqrll0lim)(理论上，电荷q可以被想象地集中在一个几何点上，该电荷称为点电荷,如图2.1.2所示。点电荷的电荷密度用函数来描述。一个带电荷量为q的点电荷位于，其电荷密度为'r)()('rrqr而且点不包含点包含'''''0)()(rrqdrrqdr图2.1.2点电荷分布第二章静电场例题2.1.1某一电子束,其电荷体密度为5*106exp(-1010r2)C/m3(柱面坐标)求z轴上单位长度内两平行面体积空间的电荷量。解：先定性作图，r=0,=-5*10-6C/m3;r=∞,=0Crderdredzdrqrdrdzdrr1602101010601061010510102110102105)(2210210空间的总电荷量：体积元：第二章静电场对于r=10-5m的园柱:QeQQeqr63.011100105210可见大部分电荷均集中于该圆柱内，故对于远场区来讲，可认为全部电荷仅均匀分布于此小圆柱内，即：00260/105rrrrmCVQ称r=r0为电子束的有效作用半径。另外由于r0非常细小，对于远场区，也可看成为线电荷：皮库皮法、纳库纳米、微库微米、毫库毫米、常用的单位：pCpfpnCnmnCmmCmmmmpCrllSlQl129634200010101010/105第二章静电场图2.2.1电荷与电荷的相互作用RRqqRRqqF30002004141电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷对的相互作用力为2.2库伦定律与电场强度1、库伦定律第二章静电场与恒定电场nijijiijjrrqqF130412、叠加原理（principleofsuperposition)Coulomb’slaw所说明的只是空间存在的两个点电荷之间的相互作用。实际上，往往同时存在多个电荷，这时任意两个电荷之间的相互作用的规律是什么呢？每个电荷受到多大的作用力呢？总结了许多实验以后,人们发现：若空间存在n个电荷q1,q2···qn，这时任意一个电荷qj，受到其它所有电荷对它的作用力为此式称为线性叠加原理。第二章静电场与恒定电场原理是假设性的，它并不能从理论本身中产生，其可靠性由实验来检验。迄今为止，在经典范围内和我们可以达到的场强下还没有找到一个反例显示出线性叠加原理的失效。第二章静电场与恒定电场因此，一个点电荷q受到一个电荷连续分布的带电体的作用力为VdvrrqF3041电荷密度dldQlQll0limdVdQVQV0limdSdQSQSS0limssdsrrqF3041lldlrrqF3041叠加原理的应用第二章静电场空间某点静电场的电场强度在数值上等于静电场对放置在该点的单位电荷的作用力的大小，它的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致，它表征了静电场对放置在该点的电荷的作用能力。若在电场强度为的空间某点放置点电荷q，则q受到的静电力为EEq图2.2.2场源坐标的表示库仑定律可导出空间点电荷q的电场强度为RRQRRQE300204141即)1(4)1(4),('00'rrQRQrrE当空间有n个点电荷时，场点的电场强度可由各点电荷独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算，即r)1(41)1(41)('1010iniiniiirrQRQrE3、电场强度31RRR第二章静电场对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为''3''0)(41)(drrrrrrEV''3''0)(41)(dsrrrrrrEss''3''0)(41)(dlrrrrrrEll第二章静电场由亥姆霍兹定理可知:静电场在空间中的分布特征和场源关系由静电场的环流和旋度、通量和散度来决定。2.3真空中静电场的基本方程22cosrdSadSdRR图2.2.8空间面元对一定点O的立体角dS空间某一面元对一定点O所张的立体角定义：以O为球心，以点O到面元的距离R为半径作一球面，如图2.2.8所示，则立体角为在球面上的投影与的比，即dSdSdSddraSd2R第二章静电场图2.2.9闭合面对定点的立体角闭合面对定点O的立体角一定等于球面对O点的立体角,即。如果O点在闭合面外，则该闭合面在球面上投影的带数和为零，如图2.2.9b所示，因此，该闭合面对定点O的立体角一定等于零。4第二章静电场验证高斯定理先研究一个点电荷的情况:在点电荷q的电场中任选一闭合面S，电场强度在S面上的通量为：sssdqRSdRqSdE020044上式中是面元对点电荷q所张的立体角20RSdRq4若点在闭合面内，则该立体角为0044qqSdEs若q点在闭合面内，则该立体角为40sSdE若S面内有N个点电荷，则根据叠加原理：0101QqSdEniis式中Q为闭合面的总电荷。第二章静电场若闭合面S包围的体积内，电荷以体密度分布，则内总电荷量为)(rdrQ)(drSdEs)(10根据高斯散度定理有：则：drdE)(10因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有0)(rE高斯定律的积分形式高斯定律的微分形式SVsdEdE第二章静电场环流方程和旋度方程：在点电荷的场中取一条曲线连接A、B两点，如图2.2.10所示，沿此曲线的积分为：EBARRBABARdRqRldRqldE2020044BARRRRqRqBA1141400图2.2.10的计算cldE当积分路径是闭合路径时，点A和点B重合，因此0cldE利用斯托克斯定理，上式可写成：scSdEldE0因此：静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。第二章静电场静电场基本方程的积分形式niisqSdE101cldE0静电场基本方程的微分形式0E0E第二章静电场例题2.1：求无限空间有限长导线l（带电的线电荷密度为l)在空间的电场。zererzr场位置矢量：zdzerlzdq;'微电荷量：点源位置矢量：)(zzererrRzr源距离：场zzrrdEedEerdE)(场的分解：取圆柱坐标，令z轴与导线重合，显见由场的对称性，可取f0（常数）的面进行讨论：ZrdEZdEdEZP(r,fz)Rl/2rz’r’l/21图2.6.2有限长线电荷l的电场第二章静电场2/2/2/3220)()(41)(llzrlzzrzzerezdrEdzzrzdzzrzzrrcos)()(sin)(2/3222/122则令：rz-z’{r2+(z-z’)}1/2dzzrzdrzzrzzsin)(cos)()(2/32222/122则令：12210sinsin)cos(cos4)(zrleerrE当导线变为无限长时：10rerErl02)(第二章静电场第二章静电场第二章静电场与恒定电场由静电场的表达式出发，即VdrrxxE30)(41)(31rrrVdrxxE)1)((41)(0所以由于Vdrx1)(410)(x2.4泊松方程拉普拉斯方程第二章静电场1、电位函数静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为静电场的电位函数或简称电位。静电场中，电位函数的定义为：E在直角坐标系中：zayaxaEzyxdzadyadxaldzyxddzzdyydxxldE)(第二章静电场将上式在空间A、B两点间积分可得A、B两点的电位差:BAldEBAAB)()()]()([电场强度沿一路径从A点到B点的线积分等于电位从A点到B点的下降.由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。若在空间中任选P点作为电位的参考点，即，则A点的电位0)(PPAldEA)(参考点的选定最好使电位函数的表达式比较简单，通常电荷分布在有限区域时，最好选无穷远点为参考点；如果电荷分布到无穷远处，则不能选无穷远点为参考点，而必须将参考点选在有限远处。对于点电荷的电位：PRRPARdRqldRRqR2002044)(CRqRRqP004114若选取无穷远点为参考点，则，于是0CRqR04)(第二章静电场体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：Cdrrrr'''0)(41)(CdSrrrrss'''0)(41)(Cdlrrrrll'''0)(41)(第二章静电场第二章静电场第二章静电场第二章静电场第二章静电场第二章静电场2、泊松方程拉普拉斯方程E0E02020022222222zyx拉普拉斯算符无源区域拉普拉斯方程泊松方程在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：第二章静电场2.5介质中的高斯定律电位移矢量1、电介质的极化电介质简称介质，是一种电阻率很高、导电性能很差的物质。当介质被放入电场中时，介质在电场作用下会使介质表面或