第1章 有限元法的直接刚度法-1梁单元

知识点：直梁和平面刚架的直接刚度法重点：梁单元杆和刚架单元的自由度单元的坐标变换难点：直接刚度法的计算过程与物理意义Ⅰ.关于梁和弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。弯曲变形工程实例F2F1纵向对称面对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。悬臂梁(2)梁的基本形式简支梁外伸梁2.1直梁的有限元分析(a)直梁模型图2.1直梁(b)直梁的有限元模型以直梁为例来说明有限元法的直接刚度法。如图2.1(a)所示直梁，已知E、I、Z、M，AB=BC=CD=l，IAC=2I，ICD=I。2.1.1划分单元•两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按以下原则选取：1、杆件的交点一定要选为节点。2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。3、支承点和自由端要取为节点。4、集中载荷作用处要取为节点。5、欲求位移的点要取为节点。6、单元长度不要相差太多。•按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分的单元如图2.1(b)所示图2.1(a)单元的节点位移(b)单元的节点力2.1直梁的有限元分析任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点的节点位移分量有2个：挠度和转角，一般规定，向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。（2-1）图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分量：、、、，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位移列阵。（2-2）TiiiiiffTjjiieffifijfjf2.1直梁的有限元分析根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：剪力、弯矩。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用、来表示，规定：向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（2-3），表示节点的节点力。（2-3）图2.2(b)所示梁单元共有4个节点力分量：、、、，可用一个列阵表示，式（2-4）称为单元的节点力列阵。（2-4）iqiiimqpTjjiiemqmqpimjqjmQMqmqmi2.1直梁的有限元分析梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力和力偶，一般规定，向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（2-5），表示节点的节点载荷。（2-5）同理：ZZMMTiiiiiMZMZQTjjiieMZMZQ（2-6）i2.1直梁的有限元分析节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力，如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。（2-7）Tffffffff44332211443322112.1直梁的有限元分析根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系可以表示为：（2-9）写成矩阵形式：（2-10）jjiijjjiijjjiiijjiiiafaafamafaafaqafaafamafaafaq44434241343332312423222114131211jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq444342413433323124232221141312112.1直梁的有限元分析简写为:（2-11）其中为单元节点力列阵，为单元节点位移列阵，称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵。单元刚度矩阵中各元素的物理意义：(a)单元的节点位移图2.3单元刚度矩阵第1列元素的意义eeeKpepeeKeK2.1直梁的有限元分析在点固定，令点有如图2.3(a)所示的位移，即有，，，。代入公式（2-10）中，得（2-12）由式（2-12）可知，单元刚度矩阵中第一列元素的物理意义：为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点力。41312111444342413433323124232221141312110001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaamqmqjjiiji1if0i0jf0jeK2.1直梁的有限元分析的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第1个节点力分量。的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第2个节点力分量。的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第3个节点力分量。的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第4个节点力分量。单元刚度矩阵中元素的物理意义：单元第个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第个节点力分量。11a21a31a41aeKlmmla2.1直梁的有限元分析求单元刚度矩阵的第一列元素，由叠加原理，可得：（2-13）其中，、为图2.3（b）所示单独作用所产生的位移，、为图2.3（b）所示单独作用所产生的位移。图2.3(b)节点i的节点力eK01''iiiiiifff'if'iiqifiim2.1直梁的有限元分析教材有误可得到，，，（2-14）（2-15）解方程（2-15）得：（2-16）EIlqfii33'2'2iiqlEIEIlmfii22EIlmii32213202iiiiqlmlEIEIqlmlEIEI212113612alEImalEIqii对梁单元分析受力，如图2.3（c）所示，列平衡方程（2-17）图2.3(c)单元的节点力解方程（2-17）得（2-18）2.1直梁的有限元分析00lqmmqqijiji412313612alEImlqmalEIqqiijij2.1直梁的有限元分析单元刚度矩阵中第二列元素的物理意义是：，，，时，作用在单元节点上的节点力，如图2.4所示。求单元刚度矩阵的第二列元素，由叠加原理，可得：（2-19）解方程（2-19）得：（2-20）图2.4单元刚度矩阵第2列元素的意义eK0if1i0jf0jeK120232'23'EIlmEIlqEIlmEIlqfffiiiiiiiiii2212246alEImalEIqii2.1直梁的有限元分析对梁单元分析受力，列平衡方程，解得：（2-21）同理，可求出单元刚度矩阵中的第三、四列元素，从而得到单元刚度矩阵。（2-22）4232226alEImalEIqjjeKeK22223222323222323444342413433323124232221141312114626612612264661261246266126122646612612lllllllllllllEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIaaaaaaaaaaaaaaaaKe2.1直梁的有限元分析从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵是一个对称矩阵，即。将单元刚度矩阵的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别见式（2-23）、（2-24）和（2-25）。图2.5三个单元的受力图eKjiijaaeK2.1直梁的有限元分析（2-23）（2-24）（2-25）22112222312121111462661261226466126122fflllllllllllllEImqmq33222222323232222462661261226466126122fflllllllllllllEImqmq4433222233434333346266126122646612612fflllllllllllllEImqmq2.1直梁的有限元分析单元的节点力和节点位移的关系，通常采用分块的方法表示，如2号单元的节点力和节点位移的关系见式（2-24），可表示为如下形式：（2-26）3223323222322232322KKKKlEIpp2.1直梁的有限元分析2.1.3建立节点平衡方程式取图2.1(b)中各节点为研究对象，如图2..6所示，列平衡方程式：（2-27）图2.6各节点的受力图00MFy2.1直梁的有限元分析选取节点1为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得（2-28）选取节点2为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得（2-29）)2646(2)612612(2222121311122113111llfllflEImMlflflEIqZ)2646(2)4626(2)612612(2)612612(23232223222121322122332232211322122llfllflEIllfllflEImmMlflflEIlflflEIqqZ2.1直梁的有限元分析同理，分别选取节点3、节点4为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得、和、，整个结构共得到8个平衡方程，称为有限元的基本方程，写成矩阵形式为：（2-30）简记为（2-31）3Z3M4Z4M443322112222222222223443322112330000363600003243626003636612612000026446626006126612126120000264600006126122fffflllllllllllllllllllllllllllllllllllllEIMZMZMZMZKQ2.1直梁的有限元分析其中：——整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束反力）；——整个结构的节点位移列阵；——结构的整体刚度矩阵，又称总刚矩阵。整体刚度矩阵具有下列性质和特点：•对称性：。•奇异性：，不存在，这是因为尚未加入边界约束条件之前，整个系统可以作刚体运动，因而位移不是唯一的。只有加入边界约束条件后，约束了结构的刚体位移，才能使成为正定矩阵，从而得到位移的