第15章-复数与相量(附加)

第15章复数与相量（附加）对应电工学第15章PPT的第17页1变化的快慢大小正弦量的三要素初始值tIisinm设正弦交流电流：正弦量的特征表现在：频率幅值初相位角频率幅值初相位Im2TitOt-Im2周期T：正弦量变化一次所需的时间。单位：秒（s）角频率ω：每秒旋转的弧度。单位：弧度每秒（rad/s）πfTπω22频率f：每秒内变化的次数。单位：赫兹（Hz）电力标准频率：我国50Hz，美国、日本60Hz移动通信频率：900MHz~1800MHz高频炉频率：200~300kHz收音机中波段频率：530~1600kHz频率与周期3瞬时值：正弦量在任一瞬间的值，用小写字母表示，如：i、u、e。幅值（最大值）：瞬时值中最大的值，用带下标m的大写字母表示，如：Um、Im、Em。正弦电流、电压和电动势的大小常用有效值(均方根值)来计量。有效值是从电流的热效应来规定的。幅值与有效值tIisinmIm2TitOt-Im有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。同理：2mUU2mEE一般交流电流表和电压表测量的数据均为有效值。一般交流设备铭牌标注的电压和电流均为有效值。2IImUm正弦量幅值，即最高点的固定值4初相位ψωt相位角：初相位：表示正弦量在t=0时的相位角（正弦量由幅值为0开始，初相位是由横轴原点记值，则相位角是正弦起始到横轴原点这段长度所代表的角度）。反映正弦量变化的进程。)(sinmψtωIi0)(tt正弦量的初相位与计时起点（t=0）有关。Im2TitOt-Im相位差：两个同频率正弦量的初相位角之差。5正弦交流电的相量表示法三角函数式，如)(sinmψtωIi这两种方法的缺点是运算繁琐。正弦波形，如正弦交流电的基本表示法：Im2TitOt-Im6+j+1AbarO复数的四种表示方式：⒉三角函数式：)sinjcos(sinjcosψψrψrψrA⒈代数式：baAjabψarctan22bar复数的模复数的辐角ψracosψrbsin正弦交流电的复数表示形式上述两种表示方式适用于复数的加减运算。由于在电路中I通常表征电流强度，因此常用j表示虚部单位，j=这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。+j：j本身是虚部单位，不代表数值，“+”表示虚数b为+1，位于纵轴上的+1位置。-j：“-”表示虚数b为-1，位于纵轴上的-1位置。17⒊指数式：ψrAjeψψψsinjcosej可得baAj⒋极坐标式：ψrA欧拉公式：j2eesinjjψψψ2eecosjjψψψ四种表示方式之间可相互转换ψrψrsinjcosψrjeψr上述两种表示方式适用于复数的乘除运算。8•复数的图形表示•复数用点表示A1=1+jA2=-3A3=-3-j2A4=3-j0123123＋1A1A4A3A2－1－2－3－1－2－3＋j9【例题】写出1，-1，j，-j的极坐标式，并在复平面内做出其矢量图。解：1）复数1的实部为1，虚部为0，其极坐标式为1=1∠0°；2）复数-1的实部为-1，虚部为0，其极坐标式为-1=1∠180°；＋1＋j0019011801901－（A=a+jb）3）复数j的实部为0，虚部为1，其极坐标式为j=1∠90°；4）复数-j的实部为0，虚部为-1，其极坐标式为–j=1∠-90°。103.复数的四则运算•1）加减运算•设有两个复数分别为•A=a1+jb1=r1∠θ1,•B=a2+jb2=r2∠θ2•则•A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)一般情况下，复数的加减运算应把复数写成代数式。112）乘除运算设有两个复数•A=r1∠θ1,•B=r2∠θ2•则A·B=r1r2∠(θ1+θ2))(2121rrBA一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成较为简便的极坐标式。12在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率已知，可不必考虑。因此，一个正弦量由幅值（或有效值）和初相位就可确定。复数正弦量辐角模幅值初相位复数的模即为正弦量的幅值或有效值。复数的辐角即为正弦量的初相位。所以正弦量都可以用复数表示。13)(sinmψtωUu设正弦量：电压有效值相量表示：ψUUUψje⒈相量式表示正弦量的复数称相量。相量相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。ψUUUψemjmm电压幅值相量表示：只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。记作：14⒉相量图例：)V30(sin2220tωuVe222003jmUVe22003jU则V30220UA605I相量图：按照各个正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形。U30I60例：只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上（如：输入电压与输出响应电压同频；电压与其对应的电流同频，相当于ω相同），可不画坐标轴。15正弦量的相量表示法•1.旋转因子：•把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子，即ejθ=1∠θ。•取任意复数A=r1=r1∠θ1，则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ),即任意复数乘以旋转因子后，其模不变，幅角在原来的基础上增加了θ，这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。见图。1jeO＋1＋jA1r1r1Aej16正弦量的产生如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角，其角速度为ω，复数为A=Um∠ψu，A匀速旋转后可惟一对应一正弦量：Um∠ψu→Umsin(ωt+ψu)17•由于正弦交流电路中的电压、电流都是同频率的正弦量，故角频率这一共同拥有的要素在分析计算过程中可以略去，只在结果中补上即可。这样在分析计算过程中，只需考虑最大值和初相两个要素。•用一个复数表示一个正弦量的意义在于：•把正弦量之间的三角函数运算变成了复数的运算，使正弦交流电路的计算问题简化。18HzfVU50,45220HzfAI100,12010VtVtu45314sin222045)502(sin2220AtAti120628sin210120)1002(sin210【例】写出下列相量对应的正弦量。（1）(2)解：(1)（2）1920波形图瞬时值相量图复数符号法UIUeUjbaUj小结：1、正弦波的四种表示法tUumsinTmIti