第五章 留数及其应用 5.2节 留数和留数定理

15-2留数和留数定理一Δ、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数2C0z)(zf设为的一个孤立奇点;0z.的某去心邻域0zRzz00包含0z的任一条正向简单闭曲线C.一Δ、留数的定义和计算定义()fz0z记作].),(Res[0zzf包含0z的任意一条简单闭曲线C的积分Czzfd)(的值除i2后所得的数称为以0z的一个孤立奇点,则沿如果Rzzz000的某个去心邻域内，()fz为函数在的留数(Residue),301010)()()(czzczzczfnn内的Laurent级数:)(zfRzz00在nnzzczzc)()(001C0z.1()d2Cfzzi：计算留数412iczzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010CCnnzzzczzzcd)(d)(1010Czzfd)(积分0(高阶导数公式)i2的系数级数中负幂项101)(zzcLaurent0(柯西积分定理)5]),(Res[0zzf)125(11()d2Cfzzci即110()czz在为中心的圆环的留数为的系数。()fz0z()fz在0z注域内的Laurent级数中负幂项6计算留数的一般公式（1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留数为零。当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g(ζ)为偶函数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知0),(Re0zzfs7成Laurent级数求.1c(2)如果0z为的本性奇点,)(zf(3)如果0z为的极点,则有如下计算规则)(zf)(zf展开则需将8规则1o若z0为f(z)的一级极点，则有)()(lim),(Re000zfzzzzfszz)225(9规则2o若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数有mn)]()[(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdnzzfsnnnzz说明将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可看作规则2o当n=m=1时的特殊情形，且规则2o可取m=1.)325(10由于z0为f(z)的m级极点，100()()mmccfzzzzz于是对得mnnnmnmnzzczzczzczfzz)()()()(0010100)0(0zzLaurent级数在其收敛环域内逐项微分得)(!)!1()(001011zzcncnzfzzdzdnnn令，规则2o成立；0zz令n=m=1，规则1o成立。证明先证明规则2o。因此可设在0|z-z0|ρ内有11规则3如果,0)(,0)(,0)(000zQzQzP设,)()()(zQzPzf)(zP及)(zQ在0z都解析，证0)(,0)(00zQzQ因为那末0z为的一级极点,)(zf且有.)()(]),(Res[000zQzPzzf)425(120z所以为的一级极点,)(zf)()(lim]),([Res000zfzzzzfzz00)()()(lim0zzzQzQzPzz.)()(00zQzP0z所以的一级零点,为)(zQ)(1zQ0z的一级极点，为0)(0zP13典型例题例1求nzzezf)(在0z的留数（n为正整数）。解阶极点，的是因为nzfz)(00,Resnzze所以.)!1(1nnznnnzzezzn110ddlim)!1(114例2求6sin)()()(zzzzQzPzf在0z的留数.分析,0)0()0()0(PPP.0)0(P0z是zzsin的三级零点由规则2得.sinddlim)!13(1]0),(Res[63220zzzzzzfz的三级极点，是所以)(0zfz计算较麻烦.15如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便：!5!31sin5366zzzzzzzz.!510,sinRes16czzz,!5!313zz解16说明:0z如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.!512.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高能够使得计算方便.6m1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般要将m因为有时把m取得比实际的如上例取17例3．求下列函数在指定点处的留数(1),;51)1()(zezfz00z解：是函数的一级零点,00z1ze又是函数的五级零点.5z于是它是的四级极点,)(1zf2!41)1(lim!41]0),([Res4401zzedzdzf可用规则计算其留数,其中m=4,为了计算简便应当取其中n=5,这时有18另解：在点的去心邻域内的Laurent级数为)(1zf00zz0!41]0),([Res11czf例3．求下列函数在指定点处的留数(1),;51)1()(zezfz00z1!6!5!4!3!21116543255zzzzzzzzez,!6!51!41!31!211234zzzzz其中n=4的项的系数为c-1=1/4!,从而也有19(4),;)1sin()(4zzf00z解：在点的去心邻域内的Laurent级数为00z)(4zfz0012)!12()1(1sinnnnnzz显然为它的本性奇点,其中的项的系数为,于是得00z0n11c1]0,1[sinRes1cz20注留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.留数定理点的一条正向简单闭曲线,.]),(Res[2d)(1nkkCzzfizzf奇点z1,z2,…,zn外处处解析,函数f(z)在区域D内除有限个孤立C是D内包围诸奇那末二、留数定理21证明首先在C的内部，环绕f(z)的每个奇点zk作互不相交且互不包含的正向小圆周Ck根据积分路径的复闭路定理得CnkCkdzzfdzzf1)()(由定义1，12kCfzdziRe(),ksfzz所证等式成立。22例1计算积分,d)1(2zzzeCzC为正向圆周:.2z解20)1(lim]0),([Reszzezzfzz1)1(lim20zezz221)1()1(ddlim)!12(1]1),(Res[zzezzzfzz被积函数的奇点（一级极点）和（二级极点）都在圆的内部,并且2()[(1)]zfzezz0z1z2z23zezzzddlim121)1(limzzezz,0zzzeCzd)1(2所以)01(2i]1),(Res[]0),(Res[2zfzfi.2i24例2.计算积分sin222I(1)zzedzzz解：在圆的内部有一个二级极点和两个一级极点,])1([)(22sin2zzezfz2z0ziz于是利用留数的计算规则和得211)12(cos1lim)1(lim]0),([Res22sin02sin02zzzzezezfzzzz2i])1()i[(lim]i),([Res1ish22sini2ezzezzfzz251ish-sin(-i)2sini22sini22i-2i1])([lim])1()i[(lim]i),([Reseeizzezzezzfzzzz最后由留数定理得其积分值为ish1-ish11I2[1()]2i2[1sin(sh1)]ieei26例3计算积分Czzz,d14C为正向圆周:.2z解被积函数14zz有四个一级极点i,1都在圆周2z的内部,所以Czzzd14]1),(Res[]1),(Res[2zfzfi]),(Res[]),(Res[izfizf由规则3,414)()(23zzzzQzP27Czzzd14.0414141412i例4计算积分Cdzzzzz,)3)(1(23C为正向圆周:.2z解除,0z)3)(1(2)(3zzzzzf被积函数点外无其他奇点，3,13z在圆外。28]}1),(Res[]0),(Res[{2zfzfi所以Cdzzzzz)3)(1(23])3)(1(2)1[(lim]1),(Res[31zzzzzzfz21])3)(1(2[lim21]0),(Res[0zzzzfz29因此iidzzzzzC27)212714(2)3)(1(23]3111[lim410zzz])3(1)1(1[lim21330zzz271430定理2若函数f(z)在环域内解析，则对包含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有211()2Re(),0CfzdzisfzR证明：设f(z)在所给环域内的Laurent级数为由Laurent级数展开定理，则有Cdzzfic)(211zRzcczczczczf10112233)(31定理2若函数f(z)在环域内解析，则对包含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有211()2Re(),0CfzdzisfzR作变换，在点的去心邻域内解析，且在该邻域内有z11f0R10110112233)1(cccccf20112321)1(ccccf0,11Re22)(21fsiicdzzfC32例5计算下列积分,其中积分闭路取正向.(1)265111cosIzdzzzz解：被积函数在环域内解析,它的7个奇点都在圆周的内部,用定理1计算非常困难,可是该积分满足定理2的条件,利用定理2得)(1zfz12zi21coslimi2,0])1(cosiRes[2,0]1)1(iRes[2)(I60622111zfdzzf33例5计算下列积分,其中积分闭路取正向.(2)1221sinIzzzdz解：被积函数在环域内解析,其奇点为,,其中,显然这些奇点有无穷多个,它们都在圆周的内部,不能用定理1计算其积分值;可是该积分函数满足定理2条件,于是由定理2得)(2zfz100z)(1kzk,2,1k1zi2cos0i2,0]sin1iRes[2,0]1)1(iRes[2)(I12222zfdzzf341若z0为函数f(z)的可去奇点（负幂项的项数为零个）,则它在点z0的留数为零。0),(Re0zzfs留数的计算3若z0为f(z)的一级极点，则有)()(lim),(Re000zfzzzzfszz4若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数有mn)]()[(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdnzzfsnnnzz2当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若为偶函数，则f(z)在点z0的留数为零。g0),(Re0zzfs355设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都