第五章 相似矩阵及二次型

第五章相似矩阵及二次型定义1设有维向量令,则称为向量与的内积。nnyyyxxx...,...2121yxnnyxyxyx...],[2211yx],[yxxy§5.1向量组的正交规范化内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有＝内积满足下列运算规律（其中为维向量，为实数）i(ii)(ⅲ)xy],[yxyxTzyx,,n],[],[xyyxyxyx,,zyzxzyx,,,利用向量的内积概念，我们可以定义维向量的长度.定义2设是一个维实向量，令,称为维向量的长度（或范数）。向量的长度具有下述性质：1、非负性：当时，；当时，；n),...,,(21nxxxx222...],[n21xxxxxxxnx0x0x0x0x2、齐次性：；3、三角不等式：。当时，称为单位向量。向量的内积满足，上式称为Schwarz(施瓦兹)不等式。由此可得（当是非零向量时），于是有下面的定义：当时称为维向量的夹角.xxyxyx1xxyyxxyx,,,21,yxyxyx,04,0yxyxyx,arccosn当时，称向量与正交。显然，若，则与任何向量都正交。定义3如果向量组中任意两个向量都是正交，而且每个都不是零向量，那么这个向量组就称为正交向量组。下面证明关于正交向量组一个重要性质。定理1正交向量组一定是线性无关的。证明：设是一个正交向量组，如果0,yxxy0xxrxxx,...,,21)r....21i,,,(ixrxxx...,,,210...2211rrxxx那么以左乘上式两端，得因，故，从而必有。类似可证。于是向量组线性无关。我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。显然任意个两两正交的维非零向量都可以构成向量空间的一个正交基。T1x0111xxT01x0111xxxT010,,...02rnnnR例1已知3维向量空间中的两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交。解：记应满足齐次线性方程组,由121,111213321,,11211121TTA30xA得，从而有基础解系，取即可。A11211101100133231xxxxx01011013定义4设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个正交规范基。例如，，，就是的一个正交规范基。nre,,e,e....21re,,e,e....21)RV(Vnre,,e,e....21V0021211e0021212e2121003e2121004e4R若是的一个正交规范基，那么中任一向量应能由线性表示，设表示式为为求其中的系数，可用左乘上式，有即设是向量空间的一个基，要求的一个正交规范基。这也就是要找一组两两正交的单位向量，使与等价。这个问题称为把这个基正交规范化.我们有下面的定理：re,,e,e....21re,,e,e....21VVrreee...2211),.....,2,1(riiiTeiiiTiiTeeeiiTiee,r,....,,21VVre,,e,e....21re,,e,e....21r,....,,21r,....,,21定理2设是一组线性无关的向量，那么，可以找到一组正交的向量，使得与等价。证明只要令r,....,,21r,....,,21i,....,,21i,....,,21),....,2,1(ri111122221111222231111333111122211,,...,,,,..........................................................,,,,,,rrrrrrrrr这个证明过程给出了求与已知线性无关向量组等价的正交向量组的方法.通常称为Schimidt（施密特）正交化方法.如果再将所得的正交向量组单位化,即令,就得到一组与等价的正交单位向量组.iiie).....,,2,1(rir,....,,21reee,...,,21例２设，，，试用Schimidt(施密特)正交化方法把这组向量正交规范化.解取;121113120143111113512164131,,1111222222231111333,,,,.再把它们单位化,取,,.即为所求．1012111351213101412161111e11131222e10121333e321,,eee例３已知,求一组非零向量,使两两正交.解应满足方程，即它的基础解系为，．111132,321,,32,01xT0321xxx10111102把基础解系正交化，即合所求．取．其中于是得111122312],[],[,2],[,1],[1112,2１０１１２１２１１０１２１１１０３定义５如果阶方阵满足那么称为正交矩阵．例如，实矩阵，和都是正交矩阵。nAEAAAATTA10011001313232323132323231正交矩阵有以下一些性质：性质1．正交矩阵的行列式等于1或证明：设是正交矩阵，则两边取行列式得：于是，由此即得。1AEAAT1EAAT12A1A性质2．如果是正交矩阵，则.性质3．如果是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质4.如果是同阶正交矩阵，则它们的乘积也是正交矩阵。这些性质都可以简单地验证。TAA1A1ABA,AB设是一个阶正交矩阵，它的行向量为由式，我们易得的元素间的下述关系式这说明：阶方阵是正交矩阵的充分必要条件是它的个行向量恰好是两两正交的单位向量组，因而可以构成向量空间的一个正交规范基。类似地，的个列向量也构成向量空间的一个正交规范基.An),,2,1(,),,,(21niaaainiiiEAATA),,,2,1,(0),,2,1(1221122221jinjiaaaaaaniaaajninjijiiniinAnnRAnnR例4已知正交单位向量，。求使是正交单位向量组；求一个以为第1，2列的正交矩阵。解由于是线性无关的，所以可取两个向量，使线性无关。)21,21,21,21(1),,,(２１２１２１２１２４３,４３２１,,,TT21,21,)0,0,0,1(3)0,1,0,0(44321,,,将正交化得一个正交向量组：，，4321,,,)21,21,21,21(1),,,(２１２１２１２１２222231111333,,,,2132121)0,0,21,21(再将这组向量单位化，即得到一个正交单位向两组：，33334222241111444,,,,,,2142121)21,21,0,0()21,21,21,21(1),,,(２１２１２１２１２，其中向量即为所求。（2）以的转置为列作一个矩阵：这个矩阵即为所求。)0,0,22,22(3),,,(２２２２００４４３,４３２１,,,T2202121220212102221210222121T这个例题表明：正交单位向量与在正交化和单位化的过程中都不会改变。这说明任意个维正交的单位向量都可以作为某个阶正交矩阵的个行（或列）.定义6若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。设为正交变换，则有由于表示向量的长度，就表示正交变换保持向量的长度不变。12)(nrrnnrTxyTxyTxxxxxyyyTTTTTTxxy§5.2相似矩阵这一节讨论矩阵的相似问题。矩阵与称为相似.矩阵的相似关系可以用来简化运算。APP1A例如，如果那么从而因此,当比较简单时,可以利用来计算.相似矩阵还有其它方面的应用。BAPP1PAPBkk11PBPAkkBkBkA定义７设都是阶方阵，若有可逆矩阵，使则称是的相似矩阵，或说矩阵与相似,记作.对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵．“相似”是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面３个性质：１．反身性：；２．对称性：如果，那么；BA,nPBAPP1BAABBA~AAPP1APABAA~B~AA~B这是因为，如果，那么有，使得．令，则有，所以．３．传递性：如果，，那么．这是因为，若，，则有和，使，于是因此．由于相似关系具有对称性,当时，既可以说与相似，也可以说与相似。B~APAPPB11PQBQQA1A~BB~AC~BC~AB~AC~BPQBQQCAPPB11,)()()(111PQAPQQAPPQCC~AB~AAABB相似矩阵还有下面的一些性质：1、相似矩阵有相同的行列式．证明：设，那么有，使．于是．因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零．由此可知：2、相似矩阵或者同时可逆，或者同时不可逆．而且如果那么，当它们可逆时，它们的逆也相似，即．B~APAPPB1APAPPAPAPPB111,1APPBPAPB111如果，，那么因此，如果是一个多项式，那么这４个等式都可以根据矩阵运算的规律直接验证。PAPB111PAPB212PAAPBB)(21121PAAPBB)(21121PkAPkB)(111,1APPB)(xf.)()(1PAfPBf给了一个矩阵,如何去找矩阵,使最简单?最简单的矩阵是数量矩阵.但是与数量矩阵相似的矩阵只有它自已:.由此可知,不是每个矩阵都可以与某个数量矩阵相似的.比数量矩阵稍为复杂的是对角矩阵，下面我们分析矩阵与对角阵相似的条件。APAPP1kEkEPkEP)(1A为了简便起见,用表示对角矩阵:设是一个阶矩阵:,是一个阶可逆矩阵:，并设是对角矩阵.),...,,(21ndiagn...000...............0...000...0021An)(jiaA)(jipP),...,,(211ndiagAPP用表示的个列向量,并将表示成分块矩阵:于是从得到即nppp...,.,,21PPnn2ppp...1P),,,(211naaadiag