地基变形与时间的关系

第三节地基变形与时间的关系一、概述计算稳定所需时间、沉降量随着时间的变化，主要用于：1.为控制变形发展、采取预防事故的措施提供依据2.为软土地基处理提供依据二、单向固结理论1.饱和土的单向固结渗压模型2.单向固结方程的建立3.微分方程的求解三、例题固结和渗流问题本章对渗流固结方程进行推导，并对一维固结问题和稳定渗流问题及数值算法进行介绍。问题：水是从高处向底处流的吗？水是从压强大的地方向压强小的地方流的吗？水头的概念渗流：土体中的水在水头差的作用下，从水头大的一侧流向水头较小的一侧。水头：衡量水压力的大小。h=u+zu-孔隙水压力，z－位置水头注意孔隙水压力和静水压力的区别：在无渗流时，两者一致，但在有渗流时不一致在水面和空气相连的地方孔隙水压力为零。测管水头与水力坡度i=h/LhLhhuw一、砂土的渗透定律——达西定律在完全饱和的砂土中，水在压力差作用下呈层流运动（或渗流）时，服从线性渗透定律——达西定律VI达西定律Darcy’sLaw：V——渗流速度；K——比例系数，称为渗透系数，cm/s或m/d；i——水力坡度，为水头损失h与渗透路径长度L之比KiLhKv=’+u饱和土的力学模型用有效应力原理解释土体承受和传递附加应力hh’2h=01’=0，’=0，’=u=u=0u=0•渗透固结由附加应力作用引起的孔隙水压力超出静水压力水头，称为超静孔隙水压力。这种由孔隙水的渗流而引起的压缩过程称为土的渗透固结。饱和土压缩变形过程的实质是超静孔隙水压力随着水的渗流排出而逐渐消散和有效应力逐渐增长的过程，即超静孔隙水压力向有效应力转移的过程。在一维情况下为考虑如图的固结问题，顶层为透水层，h土层高度cm.该问题的初始条件是：t=0p=p00≤x≤h该问题的边界条件是：t0p=0x=00xpx=hzukzhkvyukyhkvxukxhkvwyzzwyyywxxx第一节渗流微分方程达西定律h为水头，u为孔隙水压力，k为渗透系数。1.连续性原理在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的水量等于流入该微小部分的水量加上内部水源所供给的水量。2.渗流传导微分方程的推导如图取微小六面体dxdydz,假定该六面体的它所增加的体积是体积在dt时间内增加了，tvdxdydzdt,其中εv是体积应变。tv在时间dt内，由六面体ABA’B’面流入的水量为vxdxdydzdt,，由CDC’D’面流出的水量为由式tzyxxvxddddtzyxxvvxxddd)d(流入的静水量为：tzyxxuktzyxxvwxxdddddddd22xukvwxx同样可得：由ADD’A’和BCC’B’两面流入的静水量为：由ABCD和A’B’C’D’两面流入的静水量为：因此，流入微小六面体的总静水量为：tzyxyukwydddd22tzyxzukwzdddd22tzyxzukyukxukwzwywxdddd222222假定物体内部有无水源，并设根据连续性原理得：化简得：根据广义胡克定律：tzyxzuyuxuktzyxtwvdddddddd222222uktwv2kkkkzyxzyxzyxvEv''21')()21(3)3(21''21'mzyxvuEvuEvEv根据有效应力原理：Θ为主应力之和，σm为平均主应力。)()21(3)3(21''21'mzyxvuEvuEvEv)21(312wvmvEkCuttuC于是可得渗流固结方程其中称为土的固结系数。设在渗流固结过程中Θ不变，则utuCv21称为拟三维固结理论（太沙基－伦杜立克Rendulic）。)1)(21(2wvEkC在二维（平面应变）的情况下固结问题与温度场问题的对比假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供热为W根据热量平衡原理得：cWzTyTxTctT)(222222记称为温度系数,上式可简写为：ca这就是热传导微分方程。cWzTyTxTatT)(222222xTqxyTqyzTqz热流密度在任一方向上的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。zukzhkvyukyhkvxukxhkvwyzzwyyywxxxh为水头，u为孔隙水压力，k为渗透系数。22zuktwv在一维（平面应变）的情况下，设初始孔隙比为e0，且总应力不变01d)d(ddeeevvsnvae'ddttuauauaaedd)d('dd而222201zuCzuaektuvw第三节边值条件为了能够求解渗流固结方程，从而求得孔隙水压力场，必须已知物体在初始瞬间的孔隙水压力分布，即所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后土体表面与周围介质之间水流交换的规律,即所谓边界条件。二者合成边值条件。初始条件一般表示如下：(u)t=0=f(x,y,z)边界条件一般有两种形式：第一类边界条件已知物体表面上任一点在所有瞬间的孔隙水压力，即：us=f(t)其中us表示土体表面的孔隙水压力。第二类边界条件已知物体表面上任一点点处的法向水流速度，即：(vn)s=f(t)如果已知土体边界为透水层，即：0nukvwnn0hKnxuukxxhkxfiiiifiihKnzhkzxhkxfzx渗流方程：（设土骨架为刚性，不考虑土体的压缩，平面问题）在考虑动力学问题时渗流连续性方程：（求和只取两项，平面问题）其中Kf为流体压缩模量，n为空隙率，ρf为流体密度，h为水头，u为土体位移。固结问题:一般只考虑饱和土各向同性问题（1/Kf=0)，不考虑惯性力项：iiiixuxhkx0hKnxuukxxhkxfiiiifii渗流连续性方程：（求和只取两项）指标符号把x,y,z轴，记为x1,x2,x3,通常可简记为xi,各轴的基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei,在此坐标系中的矢量v的分量记为v1,v2,v3,可简记为vi,应力分量记为可简记为σij.矢量的点积一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，用指标符号可记为W=f·s=f1s1+f2s2+f3s3=∑fisiEinstein求和约定：最后一个等式在符号∑下fisi有两个同样的指标i。求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。i=13约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一指标全程求和，求和符号略去不写：w=fisi)('pmmxumvmvvii其中于是可得gmkcppcpkgmppkmhfvvmvmfvmv)()()(222称为土的固结系数。εv为体积应变，mv为土的体积压缩系数，p为空隙水压力，σm为平均应力。ppcvm20当不考虑土的平均应力的变化时：称为Terzagai-Rendulic固结方程。边界条件为：qnzknpgknfnq为边界上的水流量。22xpctpv在一维情况下为考虑如图的固结问题，顶层为透水层，h土层高度cm.该问题的初始条件是：t=0p=p00≤x≤h该问题的边界条件是：t0p=0x=00xpx=h单向固结微分方程的解答应用傅立叶级数，可求得22xpctpv2241)1()5,3,1(2sin1422HatektHCTmeHzmmuwvvTmmzv时间因子H为土层最大排水距离，单面排水为土层厚度，双面为土层厚度的一半。n为土层的分层层数,Δt时间间隔年。p初始空隙水压力kPa,cv固结系数cm2/年,m时间段。2,1,1,,,112nppptppjijijijiji将上述方程离散，i为时间段上的离散，j为地域段上的离散22xpctpv)2(,1,1,2,,1jijijijijipppntpp即ii+1j+1jJ-1)2(,1,1,2,,1jijijijijipppntpp通过上式可以看到由i时刻的j，j-1，j+1可以计算出i+1时刻的j，这样我们可以从t=0+时刻开始，从第二行起，计算出t=Δt时刻的各点的值，然后依次计算得到各时刻各点的值。其中要注意的是：第一行的值是已知的，为零，在x=0处的边界条件是不透水，处理的办法是在边界外加一虚结点行n+1行，该行上的结点值等于n-1行上的值，这样我们就可以计算各下边边界点上的值。n+10+注意当计算空隙水压力为负时,说明时间过长,应减少时间间隔数，当底边界的空隙压力为零时说明固结完成。我们可以计算某列各点的平均值，然后按下式计算固结度：01ppU固结沉降为（S为最终沉降）USSt)5,3,1(181dd1410,0,22memzzuUvTmmHzHtxthKnzhkzxhkxfzx渗流方程：（设土骨架为刚性，平面问题）稳定渗流问题当渗流稳定时，水头不变，右边为零：0zhkzxhkxzx02222zhxh这里我们假设渗流系数相等：02222zhxh边界条件一般有两种，一种是已知水头，一种是不透水，不透水的边界处理方式可上面固结问题相同，在边界外加一虚结点行（列）n+1行，该行上的结点值等于n-1行（列）上的值，这样我们就可以计算各边界点上的值。稳定渗流问题是调和方程，可以利用二阶差分方程求解。下面讲述差分方法的一般过程。设φ是求解区域上的函数，先等距离划分求解区域如图，节点间的距离设为h，则内节点各导数可以表示如下：差分方法稳定渗流问题，用差分方法求解比较方便。差分法，一般是把微分方程中的微分用节点上的值的差（差分）来代替，得到代数方程组，求解节点上的值。方法简单易行，缺点是求解区域规则时才比较方便。2042022242020310223102222hyhyhxhx将其代入渗流问题的基本方程，得到该节点处的差分方程：0)(443210边界上的节点值对于已知水头为已知值。对于其他的内节点和不透水的边界点均可的得到类似的方程，最后得到关于上述节点（内节点和不透水的边界点）的水头函数的线性方程组，求得各节点后，再根据00yhvxhvyx由差分公式计算各结点的渗流速度。本系统所附mathcad中含有固结问题和渗流问题的子程序。一般来说，网格越密，精度越高，可以通过附录的例子进行实验。在节点数不太多时，精度就可满足一般工程要求了。h=0h=5已知水头不透水边界如图的渗流问题，请参看Mathcad的例子。注意我们在求解线形方程组时使用的是迭代法，迭代法易于编程计算。例