第四讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应1

第四讲价格变化对消费者的配置效应与福利效应第一节价格变化的替代效应与收入效应•一、价格消费曲线与收入消费曲线（略）•PCC和ICC二、替代效应和收入效应的图示BCIEA2x1x1x1poo11p01p12x2sx0112(,,)hxppu01x0112(,,)xppu1102pp0102pp1102pp11x02x1sxSE总效应的希克斯分解图形说明•运用希克斯的分解，对下图给出说明。•图形说明价格下降的总效应:1010111222101011220011122200112211111222111()()()0()0()()()0()0()()()0(sssssssxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx的总效应为：，的总效应为：总效应的方向变化为：，的替代效应为：，的替代效应为：替代效应的方向变化为：，的收入效应为：，的收入效应为：替代效应的方向变化为：，122)0sxx马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线的特征与原因•马歇尔需求曲线：比较平坦•原因:马歇尔需求曲线包含替代效应和收入效应。•希克斯需求曲线：比较陡峭•只包含替代效应，所以希克斯需求只称为补偿需求。第二节斯拉茨基公式•一、斯拉茨基公式的证明•定理：令x(p,y)为马歇尔需求，令u为消费者在价格p与收入y的前提下达到的效用水平，则••公式（3.1)称为斯卢茨基公式。它表示价格p对x的消费量的总效应等于替代效应与收入效应之和。•为了证明公式（3.1），我们引入三个引理。(,)(,)(,)()(,)()......(3.1)hiiijjjxpyxpuxpyxpyppy2、直接效应•斯拉斯基方程的两个组成部分，一部分说明了价格水平变动对于商品需求量的影响，另一部分说明了收入水平变动对于商品需求量的影响。•替代效应：总是负的，与价格变化的方向相反，而收入效应部分，•既可以是正向的，也可以是负向的。这就要看商品的类别。11()uxp011()pxxw引理1：•,),(,),(,(,)).(,),(,)(,)(.)(.)0(,)(,),(.)(,)npyRRvpypuyepvpyyuvpyepuyepuyuyueuuepuyyepuvvpyu证明：固定（由的定义知，如果价格为最大可以由保证，所以假定当时。我们要证不成立。设为可达到（收入保证的）的最大效用，由于连续，连续，可以取，使得。且。让由定义知,(,)(,)(,),(,(,))yyvvpyvpyuuvpyuuepvpyy。由于是严格递增，所以。但我们开始假定这等于说。矛盾。因此，。证毕。*(,)(,(,)).....(3.2)epuepvpyy引理2000000000000000000000000(,),()(,)..(,(,))(,)xxpyuuxpyxuvpyupxypxyepvpyyepuy证明：令并且，即当价格为，收入为时消费者选择了并且达到效用。由于这是最优选择，所以有。并且（否则，若，则与效用函数连续、递增以及效用最大化相抵触，因消费者还可以用剩下的钱去购买更多的物品，而且是不会厌足的。）。由引理1可知。或者等价地，0000000000000000000(),.(,)(.)(.)(,)(,)(,)(,)hhhuxupxyxpueexxpuxxpuxxpyxpu。由于且，这意味着解了给定时支出最小的问题，而按希克斯需求函数的定义，解决了问题的则就是，所以。于是。证毕。(,)(,(,))......(3.3)hiixpyxpvpy引理3：0000000000000000000,,.(.).()1()((,))(,(,)(,(,)hhhhhippuuxpxeuupxepuepuepvpyyxpepuxxpepu证明：设表示解决了的问题，因此在时，。由引理，，，所以，解决了时的效用极大化问题。因此，。证毕。(,)(,(,).......(3.4)hiixpuxpepu**3.1)(,)(,(,))3(.)(,)(,(,))(,(,))(,)()....(3.5)1(,)(,(,))2.9),(,)hiihijjhhiiijjjxpuxpepuxxpxpuxpepuxpepuepuppypepuepvpyyuvpy公式（证明：因为（引理），所以，当p0时，可以对的价格求偏导，从而由引理，。再利用谢泼德引理即公式（由于，可(,)(,)(,(,)).....(3.6)(,)(,(,))(,),(,)(,)...(3.7)(,)(,)(,),()(,)...(3.8)(3.1)(,))hhjjjhjjjjjhiiiijjhiijepuxpuxpvpypxpuxpepuxpyepuxpypxpuxpyxpyxpyppyxpyxp知又由公式（3.4)知所以从而移项可得公式(,)(,)(,)(1,...,)iijpuxpyxpyinpy证毕。二、若干说明•1、对引理3的说明•引理3实质上讲了马歇尔需求函数与希克斯需求函数之间的关系。•两者不等的原因：•（1）从数学公式上看，马歇尔需求函数是从有约束的效用最大化问题推导出来的。•希克斯需求函数是根据谢泼德引理得到的。•（2）从几何图形上看，马歇尔需求函数包括收入效应和替代效应之和的全部总效应。•希克斯需求函数只是剔除了收入效应之后的替代效应。•两者相等的情形：•在马歇尔需求函数曲线和希克斯需求函数曲线相交的交点。•原因：这就是引理3的内容。0000012000100000000000,,,)()()()()(,)(,(hiiuupppppxyepuyepupuepuxpuxpepu设交点是在，的时候（如消费品只有两类（。在这一点上，最优的消费量必定是把收入花尽并且等于，，即，。这就是说，在该交点，收入与，相对应的最小支出，是相等的。所以，，））•不相等情形的经济含义和说明：•无论是价格上涨还是下降，马歇尔需求函数包含全部的价格变动的总效应，对于正常物品而言，价格变动的总效应比较大，因为收入效应和替代效应是同方向的。所以马歇尔需求曲线比较平坦。•而按照希克斯补偿原则，无论价格上涨还是下跌，都应该实行相反的补偿。这样就会抵消了价格上涨和下跌的部分效应，使得希克斯需求曲线•比较陡峭。2、关于斯卢茨基补偿和希克斯补偿的计算•（1）斯卢茨基补偿•斯卢茨基补偿是在价格变动时，按照价格发生变动前的消费量为基准，以消费者保持相同的消费计划为目标，而对价格变动后的消费者所实行的补偿。••设补偿金为，价格变动向量为，则就行，这里，为价格变化向量，•为需求量在时的向量。若只有变化，则m12(,,...,)npppp0.mpx100111().mppxp0x0p1p•（2）希克斯补偿•希克斯补偿是以使消费者保持相同的效用水平为目标所发放的补偿。•它意味着，价格变化之后，消费计划可以变化，但可以达到以前一样的效用。1212221*11*221211221111**2212121221111(,),22(,,)22huxxxxyxpyxpyvppyppvppxxvpp例：如效用函数为如p不变(p=1)，收入y=2，p由0.25上升到1，求希克斯补偿，并与斯卢茨基补偿相比较。解：利用效用函数最大化法则，求出该函数的马歇尔需求函数，前面已求出为：因此，间接效用函数为：如果我们用y=代入与的表达式，则有x21212122hvppx上述就是希克斯补偿需求函数，因为现在需求取决于效用v，而不是收入y。在v不变时，只随价格而变。希克斯补偿012112121122120.25,1,2,20.2514212(1,2,2)(1,2,2)1212424222hhhhhhppyvpxxppvppv由于所以。当从上升到时，会从下降到，会从上升到。由于希克斯补偿后的支出必须保证让（x,x)在新的价格水平上收支平衡，即e=1x＋1x＝＋＝，而原来的收入只有，所以，需要补偿－＝。因此，希克斯补偿为。斯卢茨基补偿12*00112110.251,,10.250.75.(,,)4,,40.753pppppyp由于从上升到而不变因此而x为要在变化后仍让消费者购买4单位的x则斯卢茨基补偿为。可见，希克斯补偿比斯卢茨基补偿要小。3、关于斯卢茨基公式的说明'(,)(,)(,)()(,)()(,)(,)().......(3.1)hiiijjjiijjuxpyxpuxpyxpyppyxxpyxpypy常量•这右边第一项是变化对第种商品需求量的替代效应。如果无差异曲线凸向原点，则•替代效应是正的。•原因是上升时，下降，由于对是替代的，所以在同一条无差异曲线上会上升，反之，下降，在同一条无差异曲线上•会下降。ijuxp常量jpijpjxjxixixixjp•而•是收入效应。如果是正常品，则，于是收入效应为负。(,)(,)()ijxpyxpyyix(,)0ixpyy三、斯卢茨基公式的若干应用与注意事项••1,(3.1)(,)(,)(,)()(,)()..(3.5)(3.5)hiiiiiiijixpyxpuxpyxpyppyp应、自价格效令公式就可以成公式就是•变动对的效应，叫自价格效应。这里，最主要的发现是：净替代效应非正。•证明（3.6)要用谢泼德引理。••要证公式（3.7)是非正的。这需要利用到支出函数的一个性质：凹性。•凹性的一阶导数为正，二阶导数为负。•支出函数的凹性前面已经证明。(,)0(1,2,...,)...(3.6)hiixpuinp22(,)(,)...(2.9)(,)(,)0...(3.7)hiihiiiepuxpupxpuepupp22(,)(,)0(,)(,)0hiihiiiepuxpupxpuepuppix2、需求规律与吉芬商品•从公式（3.1)与(3.14)可以看出，如果一种物品是正常品，那么收入弹性为正，那么总效应为为负。自身价格和需求量反比例关系，这就是需求规律。•吉芬商品，违反需求规律，表现为需求量与价格同方向变动。•劣等品，指收入弹性为负的商品。吉芬商品属于劣等品，但劣等品并不都等同于吉芬商品。只有收入效应大于替代效应的劣等品才是吉芬商品。(,)0ixpyy(,)0iixpyp(,)0ixpyy(,)0iixpyp(,)(,)(,)iiiixpyxpyxpyyp3、净替代效应的对称性••应，所以，这种净替代总是互替的，而且是对称的。(,)(,)(,)......(3.15)hijjihjixpuepupppxpup由于公式（3.1)式右端第一是撇收入效4、总替代和总互补•净替代的对称性指的是希克斯需求函数具有替代的对称性。如果分析马歇尔需求函数，则替代和互补关系可以用总替代和总互补来定义。•总替代：两种商品与，如果•则它们是存在总替代关系的。•总互补：如果•则它们是存在总互补关系的。(,)0ijxpyp(,)0ijxpypixjx•要注意的是，总替代关系与总互补关系并不象希克斯需求关系中那样具有对称性。X1有时替代x2,但不一定说明x2就替代x1。这里关键在于有收入效应。•比如对于儿童来说，食品(x1)与玩具(x2)可能会现，这说明玩具对食品是总体互补的，原因是食品涨价，由于食品开支所占的比重高，所以收入效应占主导地位，总的收入减少，从而使玩具的消费下降。•但不一定说明食品对玩具也是互补的。因为玩具价格上涨，由于玩具开支比重较小，其收入效应较小，这时替代效应明显，人们会买更多的食品来替代玩具。这样食品对玩具是总体相替的。21(,)0xp