三角函数的图象与性质 (共45张PPT)

[小题热身]1．函数y＝tan3x的定义域为()A.xx≠3π2＋3kπ，k∈ZB.xx≠π6＋kπ，k∈ZC.xx≠－π6＋kπ，k∈ZD.xx≠π6＋kπ3，k∈Z解析：由3x≠π2＋kπ，得x≠π6＋kπ3，k∈Z.答案：D2．(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：A项，y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B项，y＝cos2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C项，y＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D项，y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．答案：B3．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．答案：B4．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于直线x＝π3对称B．关于点π3，0对称C．关于直线x＝－π6对称D．关于点π6，0对称解析：∵f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π3.经验证可知fπ3＝sin2π3＋π3＝sinπ＝0，即π3，0是函数f(x)的一个对称点．答案：B5．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．解析：由f(x)＝sin(－2x)＝－sin2x，2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)．答案：kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)6．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.解析：函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．答案：53π4＋2kπ(k∈Z)[知识重温]一、必记2●个知识点1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②______叫做这个函数的周期．(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③__________，那么这个④__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)T最小正数最小正数2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域⑤____________⑥____________⑦____________{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R单调性⑧__________上递增，k∈Z；⑨__________上递减，k∈Z⑩__________上递增，k∈Z；⑪__________上递减，k∈Z⑫__________上递增，k∈Z最值x＝⑬__________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑭______________时，ymin＝－1(k∈Z)x＝⑮______时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑯______时，ymin＝－1(k∈Z)无最值－π2＋2kπ，π2＋2kππ2＋2kπ，3π2＋2kπ[(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]－π2＋kπ，π2＋kππ2＋2kπ－π2＋2kπ2kππ＋2kπ奇偶性⑰__________⑱__________⑲__________对称中心：⑳__________对称中心：○21__________对称中心：○22__________对称性对称轴l：○23__________对称轴l：○24__________无周期性○25______○26______○27______奇函数偶函数奇函数(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ二、必明2●个易误点1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．考向一三角函数的定义域及简单的三角不等式[例1]函数y＝sinx－cosx的定义域为________．[解析]要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.[答案]x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.—[悟·技法]—1.三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解．(2)利用三角函数的图象求解．—[通·一类]—1．函数y＝1tanx－1的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z.答案：xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为________．解析：由sin2x0，9－x2≥0，得kπxkπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x－π2或0xπ2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.答案：－3，－π2∪0，π2考向二三角函数的值域与最值[互动讲练型][例2](1)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝sinx－cosx＋sinx·cosx，x∈[0，π]的最值为________．A[－1,1][解析](1)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴sinπ6x－π3∈－32，1.∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.(2)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－1≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时ymin＝－1∴函数的值域为[－1,1]．—[悟·技法]—三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sinx，cosx的值域．(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．—[通·一类]—3．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.答案：－224．求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．解析：令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－22，22.∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当t＝12时，ymax＝54，当t＝－22时，ymin＝1－22.∴函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22.考向三三角函数的性质[互动讲练型][例3](1)已知f(x)＝2sinx＋π4，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________________________________________；(2)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________；(3)(2016·宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)＝sin(12x＋θ)－3cos(12x＋θ)(|θ|π2)的图象关于原点对称，则角θ＝()A．－π6B.π6C．－π3D.π30，π432D[解析](1)由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为0，π4.(2)∵f(x)＝sinωx(ω0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.(3)∵f(x)＝2sin(12x＋θ－π3)，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin(θ－π3)＝0，即sin(θ－π3)＝0，∴θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)，又|θ|π2，∴θ＝π3.—[悟·技法]—1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asinωx和y＝Acosωx分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．5．函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为________．解析：由已知函数为y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－π3的单调增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所给函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．答案：kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)6．