第05章 时间序列模型

1第五章时间序列模型关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。2§5.1序列相关理论第3章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方程的扰动项ut满足古典回归假设，使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。但是如果扰动项ut不满足古典回归假设，回归方程的估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰动项ut关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模型估计问题。3§5.1.1序列相关及其产生的后果对于线性回归模型(5.1.1)随机误差项之间不相关，即无序列相关的基本假设为(5.1.2)如果扰动项序列ut表现为：(5.1.3)tktktttuxxxy22110Ttsuustt,,2,1,00),cov(Ttsuustt,,2,1,00),cov(4即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性（serialcorrelation）。由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：(5.1.4)特别的，如果仅存在(5.1.5)称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问题。TtsuuEstt,,2,1,00),(TtuuEtt,,2,10),(15如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：②使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显著性水平的检验不再可信；③如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏的且不一致。①在线性估计中OLS估计量不再是有效的；6EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。§5.1.2序列相关的检验方法7EViews提供了以下几种检测序列相关的方法。1．D.W.统计量检验Durbin-Watson统计量（简称D.W.统计量）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：(5.1.6)D.W.统计量检验的原假设：=0，备选假设是0。tttuu18如果序列不相关，D.W.值在2附近。如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明残差序列存在强的正一阶序列相关。)ˆ1(2ˆ)ˆˆ(..12221TttTtttuuuWD9Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-GodfreyLM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。102.相关图和Q-统计量我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数（在本章5.2.4节给出相应的公式），以及Ljung-BoxQ-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表达式为：其中：rj是残差序列的j阶自相关系数，T是观测值的个数，p是设定的滞后阶数。pjjLBjTrTTQ122(5.1.7)11p阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自相关。如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。12反之，如果，在某一滞后阶数p，Q-统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在p阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度p来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效的重要因素。在EViews软件中的操作方法：在方程工具栏选择View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-BoxQ统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。13例5.1:利用相关图检验残差序列的相关性下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计的简单消费函数的结果：14浏览这些结果：系数在统计上是很显著的，并且拟合得很好。但是，如果误差项是序列相关的，那么估计OLS标准误差将是无效的，并且估计系数由于在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下D-W统计量作为序列相关的检验是不合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice会产生如下情况：1516虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。173.序列相关LM检验与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-GodfreyLM检验（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有效。LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。181）估计回归方程，并求出残差et(5.1.8)2)检验统计量可以基于如下回归得到(5.1.9)这是对原始回归因子Xt和直到p阶的滞后残差的回归。LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数T乘以回归方程（5.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的分布。ktkttttxxxyeˆˆˆˆ22110tptptttveee11X)(2p19在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。在软件中的操作方法：选择View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行Breush-GodfreyLM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数。20上一例子中相关图在滞后值3时出现峰值。Q统计量在各阶滞后值中都具有显著性，它显示的是残差中的显著序列相关。进行序列相关的LM检验，选择View/ResidualTests/SerialCorrelationLMTest，输入p=2产生如下结果：例5.2:关于残差序列相关的LM检验(1)21此检验拒绝直至2阶的无序列相关的假设。Q-统计和LM检验都表明：残差是序列相关的，因此方程在被用于假设检验和预测之前应该重新定义。22例5.3:关于残差序列相关的LM检验(2)考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间：1963年～1984年，应用最小二乘法得到的估计方程如下：23t=（-1.32）（154.25）R2=0.80D.W.=0.94从D.W.值来看，这个模型存在正的序列相关，但是，看起来还不是强的正序列相关。ttttugnprinvˆ)ln(734.0016.0)ln(124-.3-.2-.1.0.1.26466687072747678808284图5.1回归方程残差图图5.1回归方程残差图图5.1回归方程残差图从残差图5.1可以看到残差序列的变化有相似的波动。所以，再采取上面介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。25下面采用LM统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：LM统计量显示，在5%的显著性水平拒绝原假设，回归方程的残差序列存在序列相关性。因此，回归方程的估计结果不再有效，必须采取相应的方式修正残差的自相关性。当然，对于这个例子，我们也可以用Q-统计量进行检验，而且效果更为直观，更有利于实际建模，但是这涉及到序列自相关和偏自相关系数的理论。26§5.1.3扰动项存在序列相关的线性回归方程的估计与修正线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。通常可以用AR(p)模型来描述一个平稳序列的自相关的结构，定义如下：(5.1.10)(5.1.11)tktktttuxxxy22110tptptttuuuu221127其中：ut是无条件误差项，它是回归方程（5.1.10）的误差项，参数0，1,2,,k是回归模型的系数。式（5.1.11）是误差项ut的p阶自回归模型，参数1,2,,p是p阶自回归模型的系数，t是相应的扰动项，并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差。下面将讨论如何利用AR(p)模型修正扰动项的序列相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。281．修正一阶序列相关最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一阶序列相关的情形，即p=1的情形：(5.1.12)(5.1.13)tttuxy10tttuu1把式（5.1.13）带入式（5.1.12）中得到(5.1.14)ttttuxy11029然而，由式（5.1.12）可得(5.1.15)再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，并整理(5.1.16)令，代入式（5.1.16）中有(5.1.17)如果已知的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。如果的值未知，通常可以采用Gauss—Newton迭代法求解，同时得到，0，1的估计量。11011tttxyutttttxxyy)()1(11011*1*,ttttttxxxyyytttxy