高数5-3

13.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba内容回顾2【例6】求.lim21cos02xdtextx【解】1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e【分析】这是型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号.00思考:去掉积分号还有没有其它方法?3【例7】设)(xf在),0(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.【证】xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf2000))(()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,))(()()()(200xxdttfdttftxxf)0(,0)(,0xxfxt时,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.0)x(F只要证4【例8】设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.【证】,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.令上连续在10,)x(F.,)x(F上有解在由零点定理知10])1,0[(,0)(1f5xdttfxxxxxxf0.),()()(,,0,0,0,sin21)(.1内的表达式在求设xxxtdtdttfxx0021cos21sin21)()(0时，当0)()(,00xdttfxx时当0010sin21)()(,xxdttdtdttfxx时当【解】【补充1】xxxxx,10),cos1(210,0)(6【例9】21,10,)(2xxxxxf已知，xdttfxF0)()(且.求)(xF在]2,0[的表达式.【解】;x310xt31dttf(t)dt)x(F,1x033x0x02时当61212x10x12x02dttf(t)dtdtt)x(F,2x1时当12131tdtdtt2x1102xt21,612110,31)(23xxxxxFxyo2xy122xy7【练习】求【解】dxxx20234令txsin2tdtdxcos22,2tdxxx234tdtttcos2sin44sin223tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1(sin32tdttcos)cos(cos3242Ctt)cos51cos31(3253t2x24x.4514345232Cxxdxxx20234205232451434xx8第三节定积分的换元法和分部积分法一、换元公式三、小结思考题二、分部积分公式9假设（1）)(xf在],[ba上连续；【定理】（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、换元公式10【应用换元公式时应注意】(1)求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.(2)用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.三换换积分限——上限对上限，下限对下限.换被积函数换微分dttdx)(.)3(变因此时积分变量并没有不必换积分限，若采用凑微分法时，则11【例1】计算.sincos205xdxx【解】令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt12.sincos205xdxx【例1】计算205coscosxxd6102cos616x13【例2】计算【解】.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54容易犯错误14【例3】计算【解】.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.615【例4】计算【解】aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4另解:dudtututut,20,02,2令20cossincosdttttI20cossinsinduuuu20cossinsindtttt16【例5】当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.【证】,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.01711211cosdxxxx奇函数【例6】计算【解】.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积18【例7】设函数01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2(41计算【解】换元令tx2dtdx,11tx24tx于是dxxf)2(4121)(dttf20012cos1dttetdtt19【总结】定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。.sin2sin:200xdxxdxnn证明2200sinsinsinxdxxdxxdxnnn令tx【例8】【证】2sinxdxn02)(sindttn20sintdtn20sinxdxn.sin2sin200xdxxdxnn【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量20【例9】设f(x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有.)()(0TTaadxxfdxxf【证】TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00令Ttx则TaTdxxf)(adtTtf0)(adttf0)(adxxf0)(.)()(0TTaadxxfdxxf【分析】先分割、再换元，最后改积分变量【一般地】TnTnTaan0022)(TTdxxfn21设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.二、分部积分公式【例1】计算.arcsin210xdx【解】令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则22【例2】计算【解】.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln823【例3】计算【解】.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln3524【例4】证明定积分公式(华里士（Wallis）公式)2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数25dxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止【证】设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxv26,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是2010sinxdx如：207cosxdx132547622143658710921nnInnI27定积分的分部积分公式.bababavduuvudv三、小结定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。28第四节反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分（瑕积分）三、小结思考题29（2）瑕积分（被积函数无界）以上各节所讲定积分是正常情况下的积分，它满足两条：(1)积分区间为有限区间[a，b](2)被积函数为有界函数（尤其常见的是连续函数）（1）无穷限的反常积分（积分区间无限）反常积分30【定义1】设函数)(xf在区间),[a上连续，取at，如果