第二章质点运动学(3)

第二章质点动力学（3）动能定律功能原理角动量守恒定律2-7功和动能Fs１、功(1)功的定义:力在位移方向上的分量和该位移大小的乘积。cossFsFWssFW(2)变力的功：bazyxbazyxbaabzFyFxFkzjyixkFjFiFrFWdddddbababaabrFrFrFWdcosddabmOrdFrrFWdd元功例1一个人从10m深的井中，把10kg的水匀速地提上来。由于桶漏水，每升高1m漏去0.2kg的水。问把水从井的水面提到井口，人所做的功。F=mg=(M－ky)gdW=Fdy=(M－ky)gdy所以100ddWWMkygy100100.29.8d882Jyy解取一维坐标，以水井水面为原点o，oy轴向上。设水在高度y处其质量为m，据题意得m=M－ky其中M=10kg，k=0.2kg/m，又设拉力为F，则有例2求万有引力的功。abmMrdrFrdrrdrrMmGrrMmGrrrMmGWdπcosddˆd222abbarMmGrMmGrrMmGWd2解abavmvbvrdF2、动能‧动能定理222121dddddddabbabababaabmmmrtmrmarFrFWbavvvvvvv定义质点的动能为：221vmEk，则：质点动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。kakbabEEW解例1m=0.1kg的质点沿曲线运动，求在t=0s到t=2s的时间内，作用在该质点的合外力对质点所做的功。jtitr2353）（，，J202121sm4042sm2025dd202212102vvvvvmmWttjittr)J(20d5d5ddddd2d5d2033222ttWttrFWittrmFjtittr或例2一链条总长为l，质量为m，放在桌面上并使之下垂，下垂的长度为a。设链条与桌面的滑动摩擦系数为µ，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？22)(2)21(d)()(allmgxlxlmgxlxlmgWlxlmgflalaf解（1）22222222220202)()(212)(2)(2)(d2102121alallgmlalmglalmglalmgxxlmgWmWWmmWWlaGfGfGvvvvvv（2）对链条应用动能定理得(1)保守力作功与路径无关，只取决于质点始末位置。因而存在一个由质点位置决定的一个态函数U(r)，这个态函数称之为势能。保守力做功等于势能增量的负值：UWabrMmGrMmGW2-8势能(2)势场中某一点的势能)(d)()()(dababbabaabrUrFrUrUrUrFW设a点的势能为0，则abbabrFrFrUdd)(势能零点rrFrUd)((3)保守力和势能函数的微分关系zUFyUFxUFzFyFxFrFUzyxzyx,,ddddd)(kzUjyUixUFUxO由势能曲线可以知道：1)、保守力作功等于势能的减少。在一维情况下有一元过程：)(ddxUxFxxUFd)(d即因此，保守力大小等于势能曲线的斜率，方向指向势能减少的方向。(4)一维势能曲线2)、可判断质点的运动范围。在封闭保守系统中，作总能量为E的水平线，与势能曲线相交的点表示E=U，这些位置物体的Ek=0。UXOEkEUABCDME)(2)(212xUEmxExUxmUXOEkEUME1M2MN3)、势能曲线上每一个局部的最低点(“谷”)都是稳定平衡点，势能曲线上每个局部最高点（“峰”）都是不稳定平衡点，一旦质点偏离了不稳定平衡点，质点就会远离而去。因此，势能曲线还能形象地表示出系统的稳定性。kEHHEohUU重力势能mghUkEEABxoUU弹性势能221kxUErUo0kEkEU引力势能rMmGUro)(rU0r1E3E分子力势能曲线2E例1一质量为m的质点，放在半径为R，质量线密度为（质量均匀分布）的四分之一的圆周的圆心上，如图所示，则该质点受到该圆周的万有引力及该圆周与质点间的万有引力势能为多少?2π2/π2dcos0dcoscosddd)d(d4π4π2222GmRRGmURGmRRGmFFRRGmFFRRGmRMGmFxyx解4545xyom例2已知万有引力势能为rMmGrU)(应用保守力与势能的微分关系，求万有引力。222rzrGMmyUFryrGMmyUFrxrGMmxUFzyx)(2rrrMmGkzUjyUixUF解一在直角坐标系中解二2ddrMmGrUFr例3对于弹簧振子，(1)画出U(x)~x曲线，并作一高度为E的水平线，试说明图上哪段x范围是振子可以到达的。(2)作x~x曲线，并讨论其运动情况。˙E2xoUExox221kxU常量222121kxxm解2-9能量守恒定律1、质点系的动能定理由动能定理：222122111211ddddkkErfrFErfrF1m2m12f21f2s1s1F2F212211122211ddddkkEErfrfrFrFkEWW内力外力系统外力的功系统内力的功系统动能的增量质点系的动能定理系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。111211ddkErfrF222122ddkErfrF2、系统的功能原理而保守内力作功：21UUW保守内力设系统从状态1变化到状态2，由动能定理12kkEE非保守内力保守内力外力)()(1122UEUEWWkk非保守内力外力则pkUEE叫做系统的机械能。12EEWW非保守内力外力即功能原理系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的代数和。如果一个系统内只有保守内力做功，或者外力与非保守内力的总功为零，则机械能的总值保持不变。3、机械能守恒定律pkUE常量12EEWW非保守内力外力——功能原理这一结论称为机械能守恒定律。解把物体和地球作为系统。摩擦力所作的功例1在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B。已知圆的半径R=4m，物体在B处的速度v=6m/s。求摩擦力所作的功。ORABNGfrvJmgRmEEWAB4.4248.9262212122v例2在图中，一个质量为m的物体从静止开始，沿质量为M的四分之一圆弧形槽从A滑到B。已知圆的半径为R。设所有摩擦都可忽略，求（1）物体刚离开槽底时，物体和槽的速度各是多少？（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W。（3）物体到达B时对槽的压力。解（1）把物体m、槽M和地球作为系统，以地面为参考系。设物体离开槽底时，物体和槽的速度分别为v、V。由机械能守恒定律有222121MVmmgRv又由水平方向动量守恒定律有0VvMmORABNGvMm（2）对M，由动能定理可得物体所做功0212MVWmMgRm2（3）当m到达B点瞬时,M可视为以速度V运动的惯性系。以M为参考系，m到达B点时相对于M的速度为v。则由v=vV可得222121MVmmgRv0VvMm解ORABNGvMm得)(222mMMgRmVmMMgRv由牛顿定律有RmmgN2v所以MmgmMmgRmmgN)(22vmgMm)23(MgRmMmMMgRMmmMMgRmmMMgRv)(22)1()(22例3质量为m和M的两个质点，最初它们相距很远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当两质点相距r时，它们的相对速度为多少？0vmMV)(2mMrGmV0212122rMmGmMVv)(2mMrGMvrmMGV)(2vv相对解解得练习1用v0=20m/s的初速度将一质量为m=0.5kg的物体竖直上抛，所达到的高度h=16m，则空气对它的平均阻力是_______。)0()210(20mghmvWfmafmg)(351212N.hmvmghfhva220解法一解法二练习2测子弹速度的方法如图所示。已知子弹质量m=0.02kg，木块质量M=9.98kg，弹簧劲度系数k=100N/m，子弹射入木块后，弹簧被压缩了s=0.10m，求子弹的速度v。设木块与平面间摩擦因数µ=0.2。gmMfvmMkxfxvmMmv)()(2121)(2121解１、矢量矩定义力对参考点O的力矩为FFrMrFmOFrMr2-10角动量（1）力矩prLOrvmpvmrL（2）动量矩(角动量)zyxpppzyxkjiprL解(1)力矩FrMmgbrFMsinbPxymO方向：垂直于屏幕向内。例一个质量为m的质点从P点由静止开始沿y轴自由下落。以原点O为参考点，求：(1)任意时刻作用在m上的力矩M；(2)任意时刻的角动量L；mgbtmgtbmvbL方向：垂直于屏幕向内。PrL(2)角动量)dd(ddtrmFrtmFvvtrtrtrtrrtdddddddd)(ddvvvvvvv)(dd)(dd)(ddprtmrtrtmFrvv2、角动量定理tLMddjririjijFjiFrOijMjiM由于质点系的内力矩互相抵消，即所以对质点系有iiMtL外ddiiiiiprLL)(为质点系角动量的矢量和。0iiM内质点系的角动量守恒定理对于非封闭的质点系，在合外力矩等于零的条件下，其总角动量保持恒定。0iiM外若即0ddiiMtL外iiLL恒矢量。则太阳近日点远日点例1哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离是，此时它的速率是。它离太阳最远时的速率是，这时它离太阳的距离是多少？m1075.8101rs/m1046.541vs/m1008.922v2r解在近日点和远日点时，2211,vvrr2211rmrmvv根据角动量守恒定理有可得m1008.91046.51075.824102112vvrrm1026.512例2在光滑的水平桌面上A点处放有质量为m0的木块，木块与弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点。其劲度系数为k，开始时弹簧处于自由长度l0，如图所示。设有一质量为m的子弹以速度v0沿垂直于OA方向射入木块，并嵌在其中。当木块运动到B点时，弹簧长度为l（OB⊥OA），试求木块在B点时的速度v的大小和方向。m0v0mOl0lABv（1）子弹射入木块；（2）子弹和木块一起从A点运动到B点。分析：本题可分为两个过程：解第一过程中，子弹和木块的总动量守恒100)(vvmmm第二过程中，机械能和角动量守恒20202