第12章 拉普拉斯变换

第12章拉普拉斯变换12.2拉普拉斯变换的基本性质12.3拉普拉斯反变换12.4应用拉普拉斯变换分析线性电路12.1拉普拉斯变换的定义了解拉普拉斯变换的定义和基本性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳的基础上，掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性电路的方法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌握分解定理及其应用。本章教学目的及要求12.1拉普拉斯变换的定义学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、象函数的概念。在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变换)就是其中的一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过程，在工程上有着广泛的应用。拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有0)()(dtetfsFst0)()(dtetfsFst上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时域函数f(t)的拉氏变换，F(s)也叫做f(t)的象函数。记作)]([)(tfLsF式中L[]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。如果复频域函数F(s)已知，要求出与它对应的时域函数f(t)，又要用到拉氏反变换，即：jjtsdtesFjtf)(21)(该式左边的f(t)在这里称为F(s)的原函数，此式表明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象函数F(s)，记作：)]([)(1sFLtf式中L-1[]也是一个算子，表示对括号内的象函数进行拉氏反变换。在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变换的惟一性。注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。dtedteeeLtssttt0)(0][求指数函数f(t)=e－αt、f(t)=eαt(α≥0,α是常数)的拉普拉斯变换。由拉氏变换定义式可得此积分在sα时收敛，有：sdteeLtst1][0)(sdteeLtst1][0)(同理可得f(t)=eαt的拉氏变换为：sesdtedtettLsFststst11)()]([)(000求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、正弦函数f(t)=sinωt的象函数。由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为同理，单位冲激函数的象函数为1)()()]([)()0(000sststedtetdtettLsF220220)cossin(sin][sin)(sttssedttetLsFstst正弦函数sinωt的象函数为：什么是拉普拉斯变换？什么是拉普拉斯反变换？什么是原函数？什么是象函数？二者之间的关系如何？已知原函数求象函数的过程称为拉普拉斯变换；而已知象函数求原函数的过程称为拉普拉斯反变换。原函数是时域函数，一般用小写字母表示，象函数是复频域函数，用相应的大写字母表示。原函数的拉氏变换为象函数；象函数的拉氏反变换得到的是原函数。12.2拉普拉斯变换的基本性质学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。1.代数性质则函数，和的象函数分别为和设函数)()()()(2121sFsFtftf的象函数为：)()()(21tBftAftf上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。),()()(21sBFsAFsF的象函数。和求ttfttfcos)(sin)(21可得：根据欧拉公式：tjtetjsincos,2sinjeettjtj2costjtjeet1][jseLtj由前面例题得出1][-jseLtj222221)11(21][sinssjsjsjjsjsjtL故22)11(21][cosssjsjstL同理：2.微分性质的拉氏变换为的导数则如果dttdftftfsFtfL)()(')(),()]([)0()(])([)]('[fssFdttdfLtfL)0()()()0())(()()('])([0000fssFdtetfsfdtsetfetfdtetfdtdtdfLstststst可以证明：)()]('[ssFtfL导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则有:3.微分性质(可参看课本172页下至173页上)课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，在解题时可直接套用。拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了这些性质的具体应用。拉普拉斯变换有哪些性质？利用拉普拉斯变换的性质，对解决问题有何种效益？利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本表12.1中给出了一些常用的时间函数的拉氏变换。12.3拉普拉斯反变换学习目标：了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏反变换中的分解定理，学会查表求原函数。利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象函数F(s)中求出原函数f(t)，这就要用到拉氏反变换。分解定理：利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。nnnnmmmmbsbsbsbasasasasFsFsF1110111021)()()(其中m和n为正整数，且n≥m。把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出F2(s)的根。F2(s)的根可以是单根、共轭复根和重根3种情况，下面逐一讨论。nn2211)(pskpskpsksFnn22111)()()(pskpskpsksFps1)]()[(11pssFpsk2)]()[(22pssFpsknpsnnsFpsk)]()[(1．F2(s)＝０有n个单根同理可得设n个单根分别为p1、p2、…、pn，于是F2(s)可以展开为式中k1、k2、k3…、kn为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以(s-p1)，得……令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得ipsiisFpsk)]()[()(')()(')()(')(lim)())((lim2121121iiipsipsipFpFsFsFsFpssFpssFkiinisFsFKipsi，，，，321)(')(21tpntptpnekekeksFLtf21211)]([)(所求待定系数ki为：ni,,3,2,1上式中：另外把分部展开公式两边同乘以(s-pi),再令s→pi，然后引用数学中的罗比塔法则，可得：这样我们又可得到另一求解ki的公式为：待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：。的原函数求)(6554)(2tfssssF52s)('65542221sFssFsF，，因为：，代入公式可得：，的根为又由于320)(212ppsF35254)(')(22111spssssFsFk75254)(')(32122spssssFsFk3723)(sssF得象函数为tteetf3273)(得原函数为jsjssFsFksFsFk-212211)(')()(')(，2．F2(s)＝０有共轭复根设共轭复根为p1=α+jω，p2=α-jω，则显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1|ejθ1，k2=|k1|e-jθ1，则)cos(2][)(11)()(1)(1)(1)(2)(11111tekeeekeekeekekektfttjtjttjjtjjtjtj为共轭复根，所以时、210)(212jpsF)6.262cos(12.1)cos(2)(11tetektftt。的原函数求)(52)(2tfssssF6.262121156.025.05.022)(')(1jjspsejsssFsFk6.261256.01jjeekk|k1|=0.56，α=-1,ω=2,θ1=26.6°,所以原函数为3．F2(s)＝０具有重根设p1为F2(s)的重根，pi为其余单根(i从2开始)，则F(s)可分解为：对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定k11、k12，则需用下式：222111112)()(pskpskpsksF22211112121)()()()(pskpskkpssFps1)()(2111pssFpsk1)]()[(2112pssFpsdsdk由上式把k11单独分离出来，可得：再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得：如果F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即：1])()[()!1(11111psqqqqsFpsdsdqk参看课本P175页例题12.6。在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？12.4应用拉氏变换分析线性电路学习目标：熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路的方法。时域条件下电阻电路有uR=RiR，把该式进行拉氏变换可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为：1.电阻元件的运算电路时域的电阻电路12.4.1单一参数的运算电路+)(sUR)(sIR－+)(tuR)(tiR－复频域的电阻运算电路同样成立。显然欧姆定律在复频域)()(sRIsURR时域条件下电感电路u、i关系：2.电感元件的运算电路)0()(1)(L-0LLLLiuLidtdiLtut)(Lti时域的电感电路+)(Ltu－L+)(LsU)(LsI－复频域的电感运算电路1sL)0(LLi+-复频域的电感运算电路2)(LsU)(LsIsi)0(L+-sL1对时域条件下电感电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：)0()()(LLLLissLIsUsisUsLsI)0()(1)(LLL由此得复频域运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源时域条件下电容电路u、i关系：3.电容元件的运算电路)0()(1)(C-0CCCCuiCudtduCtit对时域条件下电容电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：)0()()(CCCCussCUsIsusIsCsU)0()(1)(CCC由此得电容运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加