高数2(同济版)复习资料第十二章复习题

.:1的通解求下列一阶常微分方程例yedxdyx21)1()1(.)2)(1(:,ln1ln2ln,12,112,112::CexCxexdxedyexdxedyxdxedyyyyyyy即得通解即两边积分分离变量得解xyxedxdy2)2(].)412(ln[,)412(,,:2222CxeyCxeedxxedyedxxedyexxyxyxy所以说求通解为即得通解方程化为分离变量解yyxyx22(3).0,0(,1,1111,01,0,,:222222222CxyxyxxCxuudxxduuuudxduxuxuudxduxuxdxduxudxdyxyuxyyxy最后通解可化为，取负）取正；得积分化简即时当时当于是则令原方程可写为解0)sin(xdydxxxy(4)).cos(sin1sinsin1CxxxxyCxdxeeyxyxdxdyxdxxdx,2,,:得通解为按线性方程的通解公式将方程化为线性方程方法一种解法所以有全微分方程也是方程可化为线性方程解.sincos,)sin0()sin(,.1,,sin00),()0,0(CxyxxxCxdydxxxCxdydxxxyxQyPxQxxyPxyyx即得通解得按全微分方程求解公式故原方程是全微分方程设方法二).1(,:)1(yCeCdyyeeCdyyeexyxdydxydyydydy所以原方程可写为解0)(dxdyyx(5)0)()1(32dxxxydyx(6)CyxxxdyxdxxxyxuxQyPyx)1()1()(),(,,1,1:4413310302由通解公式所以因为方法一解.43,)(,1)(,1)(,1),(),(43)()(),(,43433232Cyxxxyyyyxyxxyuyxyuyxxxyydxxxyyxuxxyxu原方程通解为于是故又因故由于方法三.,0)()()(,0)(44133144133132Cxxxyyxdxdxyddydxxdxxydxxdydy从而原方程的通解为即原方程可写为方法二.022222的特解条件满足初始求微分方程例1)(yxexyyyx).12(,1,)2().2(,2.2,,2:222222221222222xeyCCxeyCxeCdxexeezxexzdxdzdxdyydxdzyzyxexyyxxxxdxxxdxxx所以所求特解解得代入初始条件因此所以从而则令原方程可写为解)()()()(302xyxyxdtttyxyyx求满足设例,).1(2)(,2,2)2(.0)0(2)()()(),(2)(,0)0(,0:22222222xxxxexyCCeCdxexeyyxxxyxyxyyxyxxxyyx所以又由初始条件得按线性方程的通解公式的特解满足是方程因此对方程两边求导得有时当解.,0)(tan)(2sin)(,2)0(,)(4解并求此全微分方程的通分方程是全微使试确定且具有连续的导数设例dyxφydxxxφxxφφxφ,cos)cos2(]2sin[)(,2)0(,tan)(2sin)()(,]tan)(2[sin)]([:tantanxxCCdxxeexxxxxxyxxxyxxxdxxdx由线性方程通解公式有满足即充要条件使方程为全微分方程的解.2cos1,)cos2(,cos200cos2)2sin(2,0cos2)tancos22(sin,cos2)(0,C22,2(0)200122222xCyCyxCxdydxxdyydxxxdyydxxxxxxCxy即按全微分方程求解公式即：是全微分方程原方程时当所以得即由于.,PQQ,,5求此曲线方程轴平分恰被且线段轴的交点为处的法线与在该线上任一点一曲线通过点例yxyxP),()3,2(.172,17,3)2(,2,02.)(01)0,(,),(,,,)(:2222xyCyCxyxyyxxyyxQyxPQPxyy故所求曲线方程为解得代入分离变量积分得即，则有为点的坐标知又处的法线两点的直线是曲线在点过则由题意知设所求曲线方程为解116yxy(1):求下列微分方程的通解例.2)(,2,,,111,1,:22CxyxCxudxuduudxdudxdydxduyxu故得积分得即于是则令解2)(yexy(2).),1(][,12,,,21,2:2222xCxeCxxCdxeeuuxdxdudyedueuexyexeyydxxdxxyyyyy即所以于是则令即，原方程可化为解).()()(1)(:,)()()(,)(:72121为任意常数方程的通解必为该证明相同的特解的两个不是设例CxyCxCyyxQyxPyxyxy的通解必为方程即的通解方程必为所以的一个特解为非齐次方程本身的非零解为方程对应齐次方程由条件知证明)()()()1()(,)()()()()(,)(,0)()()(:21221221xQyxPyxyCxCyyxQyxPyxyxyxyCyxyyxPyxyxy.,,,823221求此微分方程三个解程的是某二阶常系数线性方已知例xxxxxxxeexeyexeyexey.22.2222)()()(,).(2,,,:2xxxxxxxxxxxxxxxxxeeyyyxeexexeexeexexexexfxeyxfyyyxeee因此所求微分方程是得代入上式将故此方程是解是非齐次方程的一个特且线性无关的解是相应齐次方程的两个与由题设知解3(1)9432xyyyx求解下列高阶微分方程例211431732313113133333432343733)(,),(][,)(3)(,3,,:CCxCCxCdxCxxyCxxdxdyPCxxCdxexePxPxPdxdxPdxdPxPdxdPyPydxdxxx积分后得既有方程故即则原方程化为令解yyyyy22(2))(,ln,)11(,)(),(,,1,0,,:1121112111122CyeCeCyxCCyyCdxCdyCyydxCyydyCyydxdyPCyyPydydPPPyPdydPyPdydPPyP,yxCxC包含即得通解即从后一等式得或即得或即则原方程化为令解.21(2),0)2(,0(3)2yyyyxyx8ln)4ln(,8ln,0)2(,)4ln(42,2,21)2(,22),2(1111)(,111,1,0,,:2222212121111222xyCyCxyxxdxdyCyxCxdxdyxCxPPxdxPdPxdxdPPPPxdxdPPxPdxdPxdxdPyPy所求特解为得代入所以，即解得初始条件代入即由求解公式得即，方程可化为伯努利方程为即原方程化为令解2)0(,3)0(,044(1):10yyyyy方程解下列常系数线性齐次例.)83(,8,3,2)0(,3)0(),22(,)(,2,044:2212122221212xxxexyCCyyxCCCeyexCCyrrrr所求特解为所以得按初始条件且故通解是两个特征根是特征方程是解0256(2)yyy).4sin4cos(,43,0256:2132,12xCxCeyirrrx故特解是特征根是特征方程为解022(3)yyyyxCxCeCyirirrrrrrrxsincos,,20)1)(2(22:3221321223故通解是特征根是特征方程是解.sin)()2();21()()1(:)(23:112xxfxexfxfyyyx的通解求例).1(,1,212221)()2()(,2)(,2)()()(),()21()()1(.023:221**221xxeeCeCyyyBAxBAxAxxQpxQAxQBAxxQBAxxxQBAxxeyxexfeCeCyyyyxxxxxxx所求通解是即求得待定系数得恒等式代入方程设的通解先求出解).2sin32(cos40141.403,401,41,026,2162,212,2cos212122sin)26(2cos)62(),2sin2cos(4),2sin2cos(2,2sin2cos,2cos2121sin)()2(221****2xxeCeCyyyCBACBCBAxAxCBxCBxCxByxBxCyxCxBAyxxxQxx所求通解是解之得即得代入方程得恒等式设.)3(52122的通解求例xeyyyx).8742sin2cos(,87,0,41,34442,3)()()()2()(,2)(,2)()(),(),2sin2cos(052:221*222222*21xxCxCeyyyCBAxCBxAxAxxQqpxQpxQAxQBAxxQCBxAxxQCBxAxeyxCxCeyyyyxxx说的通解为解得系数得恒等式后代入方程令的通解为求得解.2)34(96133的通解求例xxexeyyy.21)212(,21,2,2)34(4)62(,]2)126()189(9[,]2)33(3[,)(),(096:3221333233*233*32*213xx*xxxxxxxxxxxexxxCCeyyyCABeexCeeAxBCeBxBAxABAxeyCeBxxBAAxeyCeBAxexyxCCeyyyy所求通解是求得待定系数代入方程得恒等式令非齐次方程的特解为的通解为求得解.4,,4,1,0:,04,]4[,(0,-3),62),6tan(arctan]2[,6arctan)3,0(,3,)3,0(,,1,2,0,02:232132032203203220321322132123xxxxxxxxxxxxeeyCCCCCeCeCyCCeCeCyCCCeCeCCyrrrrrr所求积分曲线为所以于是得即则点曲率为零在即则的倾角为且积分曲线在则点积分曲线过方程通解为解得所给方程的特征方程为解.,6arctan),30(,0214处的曲率为零且在点为的切线倾斜角度在点这条曲线过点的一条积分曲线求方程例PP,Pyyy.)(,3)0(,4)0(