高数5-4 定积分的换元法

定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、换元公式注意当时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分上、下限也相应的改变.例1计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt例2计算解.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54例3计算解.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6例4计算解aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4例5当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0奇函数例6计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积*例7若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.证（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t20)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf（2）设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft0)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindxxxf几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([二、小结思考题指出求2221xxdx的解法中的错误，并写出正确的解法.解令,sectx,4332:t,sectantdttdx2221xxdxtdtttttansectansec14332dt4332.12思考题解答计算中第二步是错误的.txsec,43,32t,0tant.tantan12ttx正确解法是2221xxdxtxsectdtttttansectansec14332dt4332.12一、填空题：1、3)3sin(dxx___________________；2、03)sin1(d________________；3、2022dxx_____________；4、2121221)(arcsindxxx___________；5、55242312sindxxxxx________________________..练习题二、计算下列定积分：1、203cossind；2、31221xxdx；3、14311xdx；4、223coscosdxxx；5、02cos1dxx；6、224cos4dx；7、112322)11(dxxxxx；8、203},max{dxxx；9、20dxxx（为参数）.三、设时，当时，当0,110,11)(xexxxfx求20)1(dxxf.四、设baxf,)(在上连续，证明babadxxbafdxxf)()(.五、证明：101`0)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：aaadxxfxfdxxf0)]()([)(,并求44sin1xdx.七、设1,0)(在xf上连续，证明2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案一、1、0；2、34；3、2；4、323；5、0.二、1、41；2、3322；3、2ln21；4、34；5、22；6、23；7、4；8、8；9、417；10、时当0,238；当20时,32383；当2时,238.三、)1ln(11e.六、2.