数字信号处理课件――06数字滤波器的结构

在许多信息处理过程中，如对信号的过滤、检测、预测等，都要广泛地用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用最广泛的一种线性系统环节，它是数字信号处理的重要基础。在以下三章里，我们将用前面所学到基本方法来讨论数字滤波器，分析它的特点、结构、以及主要的设计方法。6.1数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的功能，本质上说是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台完成给定运算的数字计算机。第六章数字滤波器的结构数字滤波器一般可以用两种方法来实现：1.用数字硬件装配成一台专门的设备，成为数字信号处理机。2.直接利用通用计算机的软件来实现。例如，一个数字滤波器，它的系统函数（也即滤波器的传递函数）如果为它所表达的运算可用差分方程来表示1011()1MiiNiibzHzazMNiii=0i=1y(n)=bx(n-i)+ay(n-i)同样这个运算也可以在通用计算机上实现。以一阶数字滤波器为例：只要按照图6-1的流程图编成程序，就可以让一台通用计算机来完成这个运算。011ynaxnaxn1bxn1输入a0b1{x(n)}x10y10n0011ynaxnaxn1byn1nn1n1,2,图6-1流程图一个数字网络可以用差分方程表示，也可以用单位脉冲响应表示，或者用系统函数来表示。对于研究这个系统的实现方法（即它的运算结构）来说，用方块结构图最直接。这种运算结构也可以用信号流图来表示。对于延时、乘以系数以及相加这三种基本运算来说，信号流图表示法如图6-3所示。1z1zxnyn0a1a1b图6-2一阶数字滤波器的方框结构图1za1za延时乘常数相加图6-3运算过程的信号流图表示图6-4所示的一阶数字滤波器的结构可以用信号流图表达为一个6节点的简单图。节点上的信号值称为节点变量或节点状态，图中所示的六个节点状态分别是：①②⑤⑥③④=③可以看到，用信号流图表达数字网络的结构可以更简洁，我们在下面将普遍采用信号流图的办法来分析数字滤波器的结构。xn0a1a1b1z1zyn①③④②⑥⑤xnxn1yn111axn1byn1011axnaxn1byn1yn图6-4一阶数字滤波器的信号流图表达运算结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。对于无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器与有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器，它们在结构上各自有自己不同的特点，下面将对它们分别加以讨论。6.2IIR(InfiniteImpulseResponse)滤波器的结构IIR滤波器的传递函数在有限z平面上有极点存在。它的单位脉冲响应延续到无限长，而它的结构上的特性是存在反馈环路，也即结构上是递归型的。具体实现起来，结构并不是唯一的。同一个传递函数，可以有各种不同的结构形式，其中主要的基本结构形式有以下几种:HzhnHz(1)直接型一个N阶IIR滤波器的传递函数可以表达为(6-1)用差分方程可以表达为1zxnxn1xn2xnNynyn1yn2ynN0a1a2aN1aNa1b2bN1bNb1z1z1z1z1z1011()1NiiNiiazHzbz01()()()NNiiiiynaxnibyni图6-5N阶数字滤波器的信号流图表达(6-2)从这个差分方程表达式可以看出，是由两部分相加构成：第一部分是一个对输入的N节延时链结构，每节延时抽头后加权相加，也即是一个横向结构网络。第二部分也是一个N节延时链的横向结构网络，不过它是对延时，因此是个反馈网络。从图中我们可以看到，直接型结构需要2N级延时单元。ynNii0axnixnNii1byniyn01()()()NNiiiiynaxnibyni(6-2)(2)直接II型上面直接型结构中的两部分也可分别看作是两个独立的网络，其第一部分的传递函数为差分方程是其第二部分的传递函数为差分方程是Ni1ii0HzazN1ii0ynaxni2Niii11Hz1bzNi1i1ynbyniyn这两部分串接后即构成总的传递函数由于系统是线性的，显然将级联的次序调换不会影响总的结果。即其结构如图6-6所示。1Hz2Hz1Hz2Hzxn1ynynxn2ynyn12HzHzHz21HzHzHzxnynyn1yn2ynN1z0a1a2aN1aNa1z1z1b2bN1bNb1z1z1z2yn图6-6直接型的变形即信号先经过反馈网络，其输出为中间变量再将通过直馈网络，就得到系统的最后输出2Hz2yn2Niii11H1bzN2i2i1ynbynixn2yn1HzynNi1ii0HzazNi2i0ynayni改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样延时单元可以节省一倍，即N阶滤波器只需要N级延时单元。如图6-7所示，这种结构称为正准型结构或直接II型结构，而把直接型称为直接I型。xnynyn1yn2ynN1z0a1a2aN1aNa1z1z1b2bN1bNb1z1z1z2ynxnyn1z0a1a2aN1aNa1z1z1b2bN1bNb直接II型(正准型)图6-7直接II型结构(3)级联型一个N阶的传递函数也可以用它的零、极点来表示，也即它的分子、分母都表达为因子形式(6-3)由于的系数都是实系数，因此零极点只有两种情况：或者是实根，或者是共轭复根。即Hziia,biic,d1212MM11*1iiii1i1NN11*1iiii1i1(1gz)(1hz)(1hz)H(z)(1pz)(1qz)(1qz)MM11iii0i1NN11iii1i1az(1cz)H(z)A(1dz)1bz式中表示实根；表示复根，并且。再将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子，则如果把单实根因子也看作是二阶因子的一个特例：即二次项系数(或)等于零的二阶因子，则整个函数可以完全分解成实系数二阶因子的形式iig,piih,q1212N2NN,M2MN1212MM112i1i2ii1i1NN112i1i2ii1i11gz1zzHzA1pz1zz2i2iHz(6-4)12M1j2j12i11j2j1zzH(z)A1zz这样滤波器就可以用若干二阶网络级联起来构成，这些二阶网络也成为滤波器的二阶基本节。它的传递函数的一般形式为这样一个二阶基本节可以采用直接II型结构来实现，整个滤波器则是他们的级联。整个结构如图6-8所示。121i2ii121i2i1zzHz1zzMii1HzAHzxnAyn111121211M2M1M2M1z1z1z1z1HzMHz图6-8结构图(4)并联型将传递函数展开成部分分式就可以用并联的方式构成滤波器。对于其中的共轭复根部分，再将它们成对地合并为二阶实系数的部分分式，则其中，。NiiNi0i0Niii1iii1azAHzA1dz1bz1LMiii0111i1i1iiiB1DzAHzA1pz1dz1dzNL2M(6-5)1LMi0i1i0i12i1i1i1i2iAzA1pz1zz这样就可以用L个一阶网络、M个二阶网络、以及一个常数A0网络并联起来组成滤波器H(z)，其结构如图6-9所示。当然也可以全部采用二阶节的结构，这时可将式(6-5)中实根部分两两合并以形成二阶分式。0A1A1p1zxnyn011111211z1z0M1M1M2M1z1z图6-9滤波器结构图IIR滤波器的几种结构形式的性能•直接I型：需要2N级延时单元。•直接II型：只需要N级延时单元，节省资源。直接(I,II)型在实现原理上是类似的，都是直接一次构成。共同的缺点是，系数ai、bi对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便。更严重的是当阶数N较高时，直接型结构的极点位置灵敏度太大，对字长效应太明显，因而容易出现不稳定现象并产生较大误差。因此一般来说，采用另两种结构将具有更大的优越性。•级联型：每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，便于准确实现滤波器的零、极点，也便于性能调整。级联结构可以由许多不同的搭配方式，在实际工作中，由于运算字长效应的影响，不同排列所得到的误差和性能也不一样。•并联型：可以单独调整极点位置，但不能直接控制零点。在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型总的说，误差要稍小一些。因此当要求有准确的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。例6.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为12312384112()5311448zzzHzzzz画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：531()(1)(2)(3)8()4(1)44811(2)2(3)ynynynynxnxnxnxnx(n)y(n)z£1z£1z£1£4811£2454381x(n)85434184211y(n)1z1z1z图6-10例6.1图6.3FIR(FiniteImpulseResponse)滤波器的结构有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的特点是它的是一个有限长序列，例如长度为N。因此它的传递函数一般具有如下形式FIR滤波器具有以下几种基本结构形式。(1)横截型将式(6-6)直接用差分方程表达hn(6-6)(6-7)N1nn0H(Z)h(n)ZN1i0y(n)h(i)x(ni)很明显，这就是一条输入延时链的横向结构，如图6-11所示，稍加改变也可形成图6-12的结构。横截型的差分方程式(6-7)也就是信号的卷积形式，因此横截型结构也可称为卷积型结构，有时也称为FIR直接型。xn1z1z1zh0h1h2hN2hN1yn图6-11FIR滤波器横截型结构之一xn1z1z1zh0h1hN3hN2hN1yn图6-12FIR滤波器横截型结构之二N1i0ynhixnixn(2)级联型当需要控制滤波器的传输零点时，可将传递函数分解为二阶实系数因子的形式：这样就可以用二阶节级联起来构成，如图6-13所示。这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用。但它所需要的系数比直接型的多，运算时所需的乘法运算也比直接型多。xn0111210212220M1M2Myn1z1z1z1z1z1zhn(6-8)MN1n120i1i2in0i1H(Z)h(n)Z(zz)图6-13二阶节级联(3)线性相位FIR数字滤波器在许多实际应用中，希望数字滤波器具有线性相位，FIR数字滤波器最吸引人的特点之一就是能将其设计成具有线性相位。具有线性相位的因果FIR数字滤波器的冲激响应具有偶对称特性，即(6-9)图6-14表示的是线性相位FIR系